Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
имеет ровно одно решение.
Преобразуем первое уравнение системы.
Подставим в него значение у (второе уравнение системы).
Переформулируем исходную задачу так:
"Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
на множестве 
имеет ровно один корень."
Уравнение (1) равносильно совокупности двух уравнений:
Потребуем, чтобы:
1. Уравнение (2) на имело ровно один корень, а уравнение (3) на этом множестве корней не имело.
2. Уравнение (3) на имело ровно один корень, а у уравнения (2) на этом множестве корней не было.
Рассмотрим требование 1.
Уравнение (2) на имеет ровно один корень, если будет выполнено условие: меньший его корень меньше 3, а больший – не меньше 3. Необходимое и достаточное условие: 
где 
Найдем значения а, удовлетворяющие неравенству 
Очевидно, таковыми будут элементы множества 
Уравнение (3) не будет иметь подходящих корней в двух случаях:
а) дискриминант квадратного трехчлена 
отрицателен.
Множество 
с множеством 
общих элементов не имеет.
б) дискриминант 
неотрицателен, но оба корня строго меньше 3.
Необходимое и достаточное условия:
Решим систему неравенств: 
Пересекая полученные результаты, будем иметь: 
Это — первая часть решения исходной системы.
Рассмотрим требование 2.
Уравнение (2) не имеет подходящих корней в двух случаях:
а) если 
б) 
но оба корня 
строго меньше 3. Необходимое и достаточное условия: 
Решим систему неравенств:
Уравнение (3) имеет ровно один подходящий корень, если будет выполнено хотя бы одно из двух условий:
а) дискриминант равен нулю, т. е. 
б) дискриминант больше нуля, но меньший корень меньше 3, больший корень не меньше 3. Необходимое и достаточное условие: 
Т. е. 
Таким образом, требованию 2 удовлетворяют лишь значения а, равные 
и 0.
Это — вторая часть искомого решения.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения а, при каждом из которых система
имеет ровно одно решение.
Преобразуем заданную систему.
Последняя система представима как совокупность двух смешанных систем:
и 
Далее рассмотрим случаи, когда :
1)
2) каждая из систем (*) , (**) имеет (не имеет) два одинаковых решения;
3) 
4) системы (*) и (**) имеют по два различных решения.
1) При 
исходная система примет вид:
и имеет ровно одно решение. Отсюда: 0 — искомое значение параметра.
2) Ясно, что уравнение 
ни при каких значениях а двух одинаковых корней не имеет, тогда как найдется значение а, при котором уравнение 
имеет два одинаковых корня при 
т. е. при 
Если 
то система (*) несовместна, так как равенство 
ни при каких значениях x не выполнимо. При том же значении а система (**) будет иметь ровно одно решение (то есть два совпадающих решения): 
Следовательно, значение 
относится к числу искомых.
3) При 
имеем:
Если 
то 
Если же 
то 
При 
система (*):
Из полученных корней подойдет только один: 
При том же значении а система (**) примет вид:
Из числа полученных корней подходит корень 
Таким образом, при исходная система искомым значением параметра не является.
При 
система (*):
Из числа полученных корней подходит только 
При том же значении а система (**) имеет вид:
не подходит. Также не подойдет 
Докажем последнее неравенство.
(неравенство очевидное).
Итак, при исходная система имеет ровно одно решение, т. е. число 
относится к числу искомых значений параметра.
Итак, в дальнейших исследованиях значения параметра а, равные 
нас интересовать не будут.
4) Теперь потребуем, чтобы каждая из систем (*) и (**) имела ровно два корня, один из которых меньше 2, а другой — больше 2 и найдем значения а, соответствующие этим ситуациям.
Рассмотрим в этом ключе функции: 
8 и 
Для того, чтобы один из корней квадратного трехчлена 
имеющего два различных действительных корня, был больше числа 2, а другой — меньше числа 2, необходимо и достаточно выполнение неравенства 
где a — старший коэффициент квадратного трехчлена.
Решим неравенства:
Исходя из только что полученного, а также с учетом ранее полученных результатов будем иметь: искомые значения параметра а есть элементы множества 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх