ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 508132 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 92

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 3 минус \log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 2 x.$

Решение.

Найдем ограничения на x.

$система выражений новая строка x больше 0 , новая строка x не равно 1 , новая строка 1 минус 2x больше 0 , новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 2 больше 0 , новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 2 не равно 1 новая строка конец системы . равносильно система выражений новая строка x больше 0 , новая строка x не равно 1 , новая строка x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка дробь: числитель: 2x минус 1, знаменатель: x конец дроби меньше 0 , новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби не равно 3 новая строка конец системы . равносильно система выражений новая строка 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка дробь: числитель: x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: x конец дроби меньше 0 , новая строка x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений новая строка 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби . конец системы .$

Для таких x:

$\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 3 минус \log _ левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 2 правая круглая скобка x равносильно \log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка минус 3 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка минус \log _xx конец дроби меньше или равно 0 равносильно$ $\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 3 минус \log _ левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 2 правая круглая скобка x равносильно$
$равносильно \log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка минус 3 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка минус \log _xx конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно \log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка минус 3 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка минус 1 конец дроби меньше или равно 0.$

Введем новую переменную. Пусть $\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка =t.$

Тогда:

$t минус 3 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 3t минус t плюс 3 плюс 1, знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 4t плюс 4, знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка t=2 , новая строка t минус 1 меньше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка t=2 , новая строка t меньше 1 . конец совокупности .$

При $t=2$

$\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка =2;x в квадрате =1 минус 2x равносильно x в квадрате плюс 2x минус 1=0 равносильно x= минус 1\pm корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Корень последнего уравнения, равный $минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ не удовлетворяет ограничениям на x. Покажем, что  $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Действительно, $дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби меньше корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 16, знаменатель: 9 конец дроби меньше 2 меньше дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби равносильно целая часть: 1, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 9 меньше 2 меньше целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 4$ (неравенство очевидное).

При $t меньше 1:$

$\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка меньше 1 равносильно система выражений новая строка 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , новая строка 1 минус 2x больше x конец системы . равносильно система выражений новая строка 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , новая строка 3x меньше 1 конец системы . равносильно 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Таким образом, решения исходного неравенства  — элементы множества $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая фигурная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 508132: 511885 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 92

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип Д12 C3 № 511885 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 116

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 3 минус \log _ левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 2 правая круглая скобка x.$

Решение.

Ограничения на x: $0 меньше x меньше 0,5;x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Для таких x:

$\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 3 минус \log _ левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 2 правая круглая скобка x равносильно \log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 3 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка минус \log _xx конец дроби равносильно$ $\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 3 минус \log _ левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 2 правая круглая скобка x равносильно$
$равносильно \log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 3 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка минус \log _xx конец дроби равносильно$

$равносильно \log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка минус 1 конец дроби минус 3 меньше или равно 0.$

Пусть $\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка =t.$ Тогда

$t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 1 конец дроби минус 3 меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус t плюс 1 минус 3t плюс 3, знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 4t плюс 4, знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка t=2 , новая строка t минус 1 меньше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка t=2 , новая строка t меньше 1 . конец совокупности .$ $t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 1 конец дроби минус 3 меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус t плюс 1 минус 3t плюс 3, знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 4t плюс 4, знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка t=2 , новая строка t минус 1 меньше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка t=2 , новая строка t меньше 1 . конец совокупности .$

Перейдем к переменной x.

$\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка =2 равносильно 1 минус 2x=x в квадрате равносильно x в квадрате плюс 2x минус 1=0 равносильно x= минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 1 конец аргумента равносильно совокупность выражений новая строка x= минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , новая строка x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1. конец совокупности .$ $\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка =2 равносильно 1 минус 2x=x в квадрате равносильно x в квадрате плюс 2x минус 1=0 равносильно$
$равносильно x= минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 1 конец аргумента равносильно совокупность выражений новая строка x= минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , новая строка x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1. конец совокупности .$ $\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка =2 равносильно 1 минус 2x=x в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2x минус 1=0 равносильно$
$равносильно x= минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 1 конец аргумента равносильно совокупность выражений новая строка x= минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , новая строка x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1. конец совокупности .$

Полученный отрицательный корень $x= минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше 0$ не подходит. При имеющихся ограничениях на x:

$\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка меньше 1;1 минус 2x больше ;0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 508132: 511885 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 116

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе