ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 507816 Добавить в вариант

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Классификатор стереометрии: Правильная шестиугольная призма, Угол между прямыми, Построения в пространстве, Правильная шестиугольная пирамида, Расстояние от точки до прямой

Стереометрическая задача. Угол между скрещивающимися прямыми

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра которой равны 1.

а)  Докажите, что $AC_1\perp BE.$

б)  Найдите косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁.

Решение.

а)  Проекция прямой $AC_1$ на плоскость основания ABC  — это прямая $AC.$ В правильном шестиугольнике диагонали AC и BE перпендикулярны. Значит, по теореме о трех перпендикулярах, $AC_1\perp BE.$

б)  Угол между прямыми AB₁ и BC₁ равен углу между прямыми OC₁ и BC₁.

В треугольнике OBC₁ OB = 1, BC₁=OC₁= $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Из теоремы косинусов получаем:

$косинус левая круглая скобка \angle OC_1B правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка OC_1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка BC_1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка OB правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 умножить на OC_1 умножить на BC_1 конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка корень из 2 правая круглая скобка в квадрате плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента в квадрате минус 1 в квадрате , знаменатель: 2 умножить на корень из 2 умножить на корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: 2 плюс 2 минус 1, знаменатель: 2 умножить на 2 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби =0,75.$ $косинус левая круглая скобка \angle OC_1B правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка OC_1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка BC_1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка OB правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 умножить на OC_1 умножить на BC_1 конец дроби =$
$= дробь: числитель: левая круглая скобка корень из 2 правая круглая скобка в квадрате плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента в квадрате минус 1 в квадрате , знаменатель: 2 умножить на корень из 2 умножить на корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: 2 плюс 2 минус 1, знаменатель: 2 умножить на 2 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби =0,75.$

Косинус положителен, значит, $\angle OC_1B$ острый, значит, это искомый угол между прямыми AB₁ и BC₁.

Ответ: 0,75.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 0,75.

Аналоги к заданию № 507816: 507822 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 1 комментарий · Видеокурс · Помощь

Тип 14 № 507822 Добавить в вариант

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Классификатор стереометрии: Построения в пространстве, Правильная шестиугольная пирамида, Расстояние от точки до прямой

Стереометрическая задача. Угол между скрещивающимися прямыми

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра которой равны 1.

а)  Докажите, что $AC_1\perp BE.$

б)  Найдите косинус угла между прямыми AB₁ и BD₁.

Решение.

а)  Проекция прямой $AC_1$ на плоскость основания ABC  — это прямая AC. В правильном шестиугольнике диагонали AC и BE перпендикулярны. Значит, по теореме о трех перпендикулярах, $AC_1\perp BE.$

б)  Угол между прямыми AB₁ и BD₁ равен углу между прямыми ED₁ и BD₁.

В треугольнике ED₁B EB  =  BD₁ = 2, ED₁  =   $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Из теоремы косинусов получаем

$косинус левая круглая скобка \angle EDB правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка ED правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка BD_1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка EB правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 умножить на ED_1 умножить на BD_1 конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка корень из 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 2 в квадрате минус 2 в квадрате , знаменатель: 2 умножить на корень из 2 умножить на 2 конец дроби = дробь: числитель: 2 плюс 4 минус 4, знаменатель: 2 умножить на 2 корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 4 конец дроби .$ $косинус левая круглая скобка \angle EDB правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка ED правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка BD_1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка EB правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 умножить на ED_1 умножить на BD_1 конец дроби =$
$= дробь: числитель: левая круглая скобка корень из 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 2 в квадрате минус 2 в квадрате , знаменатель: 2 умножить на корень из 2 умножить на 2 конец дроби = дробь: числитель: 2 плюс 4 минус 4, знаменатель: 2 умножить на 2 корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 4 конец дроби .$

Косинус положителен, значит, $\angle OC_1B$   — острый, значит, это искомый угол между прямыми AB₁ и BD₁.

Ответ: $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Аналоги к заданию № 507816: 507822 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе