Пусть K  — се­ре­ди­на ис­ко­мой хорды AM. Через точку M про­ведём хорду MN, па­рал­лель­ную сто­ро­не BC. Тогда точка L пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AN и BC  — се­ре­ди­на AN, зна­чит, за­да­ча имеет два ре­ше­ния. Кроме того, вы­со­та AP тре­уголь­ни­ка AMN вдвое боль­ше вы­со­ты AH тре­уголь­ни­ка ABC, зна­чит, AP  =  10 и PH  =  5. Пусть R  =  13  — ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC. По тео­ре­ме си­ну­сов

Пусть O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, Q  — се­ре­ди­на BC. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OQB на­хо­дим, что

а так как рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми хор­да­ми BC и MN также равно 5, то точка O лежит на от­рез­ке MN. Сле­до­ва­тель­но, MN  — диа­метр окруж­но­сти.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOP на­хо­дим, что Сле­до­ва­тель­но,

Ана­ло­гич­но на­хо­дим, что

Ответ:

Пусть K  — се­ре­ди­на ис­ко­мой хорды Через точку M про­ведём хорду MN, па­рал­лель­ную сто­ро­не Тогда точка L пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AN и BC  — се­ре­ди­на AN, зна­чит, за­да­ча может иметь два ре­ше­ния. Кроме того, вы­со­та AP тре­уголь­ни­ка AMN вдвое боль­ше вы­со­ты AH тре­уголь­ни­ка ABC, зна­чит, и Пусть   — ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка По тео­ре­ме си­ну­сов

Пусть O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка   — се­ре­ди­на Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OQB на­хо­дим, что а так как рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми хор­да­ми BC и MN равно 2, то и точка O не лежит на от­рез­ке

Кроме того по­лу­ча­ем, что зна­чит, точки H и Q сов­па­да­ют, точки T и P тоже сов­па­да­ют (рис. 2). Тре­уголь­ни­ки ABC и AMN рав­но­бед­рен­ные. зна­чит, за­да­ча имеет одно ре­ше­ние.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MOP (рис. 2) на­хо­дим, что Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: