Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5, 
высота, проведённая к стороне BC, равна 2. Найдите длину той хорды AM описанной окружности, которая делится пополам стороной 
Пусть K — середина искомой хорды
Через точку M проведём хорду MN, параллельную стороне Тогда точка L пересечения отрезков AN и BC — середина AN, значит, задача может иметь два решения. Кроме того, высота AP треугольника AMN вдвое больше высоты AH треугольника ABC, значит, 
и 
Пусть 
— радиус окружности, описанной около треугольника 
По теореме синусов
Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника 
— середина Из прямоугольного треугольника OQB находим, что 
а так как расстояние между параллельными хордами BC и MN равно 2, то 
и точка O не лежит на отрезке 
Кроме того получаем, что
значит, точки H и Q совпадают, точки T и P тоже совпадают (рис. 2). Треугольники ABC и AMN равнобедренные. 
значит, задача имеет одно решение.
Из прямоугольного треугольника MOP (рис. 2) находим, что 
Следовательно,
Ответ: 