Ре­ше­ние. Ясно, что за 8 ме­ся­цев Павел Ви­та­лье­вич не спра­вит­ся с вы­пла­той долга, по­сколь­ку он вер­нет банку не более руб­лей, а общий долг будет боль­ше мил­ли­о­на руб­лей, по­сколь­ку банк еще на­чис­ля­ет про­цен­ты.

По­ка­жем, что на 9 ме­ся­цев кре­дит брать можно. Пусть еже­ме­сяч­ный пла­теж будет равен 125 000 руб­лей. Через месяц за­дол­жен­ность Павла Ви­та­лье­ви­ча перед бан­ком со­ста­вит 1 010 000 руб­лей, затем Павел Ви­та­лье­вич вы­пла­чи­ва­ет 125 000 и долг со­став­ля­ет 885 000. Затем банк на­чис­ля­ет про­цент, но 1  про­цент от остав­шей­ся суммы будет уже мень­ше, чем 10 000 руб­лей, и в даль­ней­шем будет тем более мень­ше. По­это­му за­дол­жен­ность через два ме­ся­ца будет мень­ше 895000, а после оче­ред­но­го пла­те­жа  — мень­ше 770 000 руб­лей.

Ана­ло­гич­но, через 3 ме­ся­ца за­дол­жен­ность будет мень­ше 780000, а после пла­те­жа  — мень­ше 655 000 руб­лей. Через 4 ме­ся­ца за­дол­жен­ность будет мень­ше 665 000, а после пла­те­жа  — мень­ше 540 000 руб­лей. Через 5 ме­ся­цев за­дол­жен­ность будет мень­ше 550 000, а после пла­те­жа  — мень­ше 425 000 руб­лей.

Через 6 ме­ся­цев за­дол­жен­ность будет мень­ше 435 000, а после пла­те­жа  — мень­ше 310 000 руб­лей. Через 7 ме­ся­цев за­дол­жен­ность будет мень­ше 320 000, а после пла­те­жа  — мень­ше 195 000 руб­лей. Через 8 ме­ся­цев за­дол­жен­ность будет мень­ше 205 000, а после пла­те­жа  — мень­ше 80 000 руб­лей. Таким об­ра­зом, через 9 ме­ся­цев за­дол­жен­ность за­ве­до­мо не будет пре­вы­шать 90 000 руб­лей, и своим по­след­ним пла­те­жом Павел Ви­та­лье­вич пол­но­стью рас­пла­тит­ся с бан­ком.

Ответ: на 9 ме­ся­цев.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

За 8 ме­ся­цев Павел Ви­та­лье­вич не спра­вит­ся с вы­пла­той долга, так как он вер­нет банку не более руб­лей, а общий долг будет боль­ше мил­ли­о­на руб­лей, по­сколь­ку банк еще на­чис­ля­ет про­цен­ты. За 9 ме­ся­цев сумма долга уве­ли­чит­ся не более чем на де­вять сумм про­цен­тов пер­во­го ме­ся­ца, то есть не более чем на 90 000 руб­лей. Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­тить кре­дит можно за 9 ме­ся­цев.

Ре­ше­ние. Если бы банк не брал про­цен­тов, то долг можно было бы вер­нуть за 4 ме­ся­ца. Про­цент за 4 ме­ся­ца будет мень­ше учет­ве­рен­ной вы­пла­ты про­цен­тов за пер­вый месяц, то есть мень­ше 132 тыс. руб. При­чи­та­ю­щи­е­ся банку про­цен­ты можно пол­но­стью вы­пла­тить за пятый месяц.

Ответ: на 5 ме­ся­цев.

Ре­ше­ние. Ясно, что чем боль­ше ме­сяч­ные вы­пла­ты, тем быст­рее будет вы­пла­чен долг. Зна­чит, срок кре­ди­та будет ми­ни­ма­лен в том слу­чае, когда вы­пла­ты со­став­ля­ют 220 тыс. руб­лей. Со­ста­вим таб­ли­цу, в пер­вом столб­це ко­то­рой будем ука­зы­вать долг на пер­вое число ме­ся­ца, а во вто­ром  — долг в том же ме­ся­це, но уже после вы­пла­ты. Для упро­ще­ния расчётов будем со­хра­нять толь­ко два знака после за­пя­той, пред­став­ляя суммы долга в тыс. руб­лей.

При ука­зан­ной схеме пла­те­жей равно через 6 ме­ся­цев после взя­тия кре­ди­та в пер­вый день седь­мо­го ме­ся­ца можно пол­но­стью рас­счи­тать­ся с бан­ком.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что за 4 ме­ся­ца Алек­сандр Сер­ге­е­вич вы­пла­тит 1,1 млн руб­лей. Таким об­ра­зом, он не по­кро­ет долг с про­цен­та­ми. Каж­дый месяц долг уве­ли­чи­ва­ет­ся не более, чем на 1 100 000 · 0,01 = 11 000 руб­лей. Зна­чит, за пять ме­ся­цев Алек­сандр Сер­ге­е­вич дол­жен будет вы­пла­тить не более 1 100 000 + 5 · 11 000 = 1 155 000 руб­лей, что менее чем 5 · 275 000 = 1 375 000 руб­лей. Таким об­ра­зом, Алек­сандр Сер­ге­е­вич смо­жет вы­пла­тить кре­дит за 5 ме­ся­цев.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Если бы банк не брал про­цен­тов, то долг можно было бы вер­нуть за 3 ме­ся­ца. Про­цен­ты за вто­рой и тре­тий ме­ся­цы будут мень­ше про­цен­тов, на­чис­лен­ных в пер­вый месяц то есть мень­ше 9 тыс. руб. По­это­му при­чи­та­ю­щи­е­ся банку про­цен­ты, мень­шие 27 тыс. руб., можно пол­но­стью вы­пла­тить в чет­вер­тый месяц, по­тра­тив мень­ше 300 тыс. руб.

Ответ: 4.

При­ведём ре­ше­ние в общем виде.

Ми­ни­ми­зи­ро­вать время вы­плат можно, толь­ко мак­си­ми­зи­ро­вав сами вы­пла­ты. Решим за­да­чу в общем виде.

Пусть S  — сумма (в тыс. руб.) кре­ди­та, S_n  — за­дол­жен­ность в n-й месяц, s  — мак­си­маль­ная еже­ме­сяч­ная вы­пла­та, s_n  — вы­пла­та в n-й месяц, S₀ = S, q  — ко­эф­фи­ци­ент еже­ме­сяч­но­го по­вы­ше­ния, q > 1. Тогда

После пред­по­след­ней вы­пла­ты оста­нет­ся и тогда в по­след­ний, N-й раз, кре­дит будет по­га­шен. Зна­чит,

От­но­си­тель­но x = q^N−1 по­лу­ча­ем не­ра­вен­ство

По усло­вию, S = 900, s = 300, q = 1,01, то есть

Так как 1,01² = 1,0201 < 1,0206..., 1,01³ = 1,030301 > 1,0207..., имеем: N − 1 = 3, N = 4.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что за 4 ме­ся­ца Алек­сандр Сер­ге­е­вич вы­пла­тит 1,1 млн руб­лей. Таким об­ра­зом, он не по­кро­ет долг с про­цен­та­ми.

Каж­дый месяц долг уве­ли­чи­ва­ет­ся не более, чем на 1 100 000 · 0,01  =  11 000 руб­лей. Зна­чит, за пять ме­ся­цев Алек­сандр Сер­ге­е­вич дол­жен будет вы­пла­тить не более 1 100 000 + 5 · 11 000  =  1 155 000 руб­лей, что менее чем 5 · 275 000  =  1 375 000 руб­лей.

Таким об­ра­зом, Алек­сандр Сер­ге­е­вич смо­жет вы­пла­тить кре­дит за 5 ме­ся­цев.

Ответ: 5.