РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

1.  Тип Д15 C4 № 506047 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 34

Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и системы окружностей

Сложная планиметрия. Окружности

Две окружности касаются внутренним образом. Хорда AB большей окружности касается меньшей окружности в точке M. Найдите радиус меньшей окружности, если известно, что длины отрезков AM = 28, MB = 4, а радиус большей окружности равен 20.

Решение. Обозначим искомый радиус за $r.$

Опустим перпендикуляры из центров маленькой ( $O_1$ ) и большой ( $O_2$ ) окружностей на $AB.$ Основание перпендикуляра из $O_2$ назовем $N.$

Случай 1. $O_1$ и $O_2$ лежат по одну сторону от $AB.$ Тогда $O_2NMO_1$   — прямоугольная трапеция, в которой $O_2N= корень из: начало аргумента: 20 в квадрате минус 0.25AB в квадрате конец аргумента =12,$ $O_1O_2=20 минус r,$ $MN=0.5AB минус MB=12$ и (опуская высоту из $O_2$ на $MO_1$ ) по теореме Пифагора имеем $левая круглая скобка 12 минус r правая круглая скобка в квадрате плюс 12 в квадрате = левая круглая скобка 20 минус r правая круглая скобка в квадрате ,$ откуда $r=7.$

Случай 2. $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от $AB.$ Тогда $O_2MO_1N$   — трапеция, в которой $O_2N= корень из: начало аргумента: 20 в квадрате минус 0.25AB в квадрате конец аргумента =12,$ $O_1O_2=20 минус r,$ $MN=0.5AB минус MB=12$ и (опуская высоту из $O_2$ на $MO_1$ ) по теореме Пифагора имеем $левая круглая скобка 12 плюс r правая круглая скобка в квадрате плюс 12 в квадрате = левая круглая скобка 20 минус r правая круглая скобка в квадрате ,$ откуда $r= дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: $7$ или $дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Ответ: $7$ или $дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби .$

506047

$7$ или $дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 34

Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и системы окружностей

2.  Тип Д15 C4 № 505951 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 18

Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и системы окружностей

Сложная планиметрия. Окружности

Две окружности касаются внешним образом. Прямая касается первой окружности в точке M и пересекает вторую окружность в точках A и B. Найдите радиус первой окружности, если известно, что AB = 12, MB = 6, а радиус второй окружности равен 10.

Решение. Обозначим центры окружностей за $O_1$ и $O_2.$ Сразу заметим, что перпендикуляр из $O_2$ на AB падает в его середину (обозначим ее за K) и имеет длину $корень из: начало аргумента: 10 в квадрате минус 6 в квадрате конец аргумента =8.$ Обозначим радиус первой окружности за r. Возможны два случая.

1)  Точки M и K лежат по одну сторону от прямой $O_1O_2.$ Тогда $KMO_1O_2$   — прямоугольная трапеция со сторонами $KM=12,KO_2=8,MO_1=r,O_1O_2=r плюс 10.$ Опустив в ней высоту из $O_1,$ найдем по теореме Пифагора $левая круглая скобка 10 плюс r правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 8 минус r правая круглая скобка в квадрате плюс 12 в квадрате ,$ откуда $r=3.$

2)  Точки M и K лежат по разные стороны от прямой $O_1O_2.$ Тогда $MO_1KO_2$   — трапеция со сторонами и диагоналями $KM=12,KO_2=8,MO_1=r,O_1O_2=r плюс 10.$ Опустив в ней высоту из $O_1,$ найдем по теореме Пифагора $левая круглая скобка 10 плюс r правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 8 плюс r правая круглая скобка в квадрате плюс 12 в квадрате ,$ откуда $r=27.$

Ответ: $r=3$ или $r=27.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Ответ: $r=3$ или $r=27.$

505951

$r=3$ или $r=27.$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 18

Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и системы окружностей

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	506047	$7$ или $дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби .$
2	505951	$r=3$ или $r=27.$