РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

1.  Тип Д8 C1 № 505942 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 17

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

Дано уравнение $дробь: числитель: 6 косинус в квадрате x плюс косинус x минус 2, знаменатель: левая круглая скобка 3 косинус x плюс 2 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: минус тангенс x конец аргумента конец дроби =0.$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Найдем ограничения на $x.$

$косинус x не равно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , тангенс x меньше 0.$ $6 косинус в квадрате x плюс косинус x минус 2=0;$ $косинус x= дробь: числитель: минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 48 конец аргумента , знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: минус 1\pm 7, знаменатель: 12 конец дроби ;$

$косинус x= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ (не подходит), $косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Поскольку $тангенс x меньше 0,$ то искомые значения $косинус x$ могут находиться только в четвертой четверти. Значит, $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$

б)  На указанном промежутке корней не будет, поскольку там тангенс положителен.

Замечание: при нахождении ограничений на x нет необходимости учитывать условия $косинус x не равно 0,$ так как при $косинус x=0$ числитель левой части заданного уравнения в нуль не обращается.

Ответ: а) $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) Таких корней нет.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505942

а) $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) Таких корней нет.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 17

2.  Тип Д8 C1 № 505948 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 18

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Уравнения смешанного типа, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

Дано уравнение $дробь: числитель: косинус 2x минус косинус x плюс 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: синус 3x минус косинус 2x конец аргумента конец дроби =0.$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Ограничения на $x:$ $синус 3x минус косинус 2x больше 0.$ Решением этого неравенства заниматься мы не будем, проверку корней получаемого уравнения-следствия сделаем в конце решения, подставляя полученные значения в знаменатель левой части уравнения.

Приравняем к нулю числитель и решим уравнение-следствие.

$косинус 2x минус косинус x плюс 1=0 равносильно левая круглая скобка 1 плюс косинус 2x правая круглая скобка минус косинус x=0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x минус косинус x=0 равносильно$ $косинус 2x минус косинус x плюс 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 1 плюс косинус 2x правая круглая скобка минус косинус x=0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x минус косинус x=0 равносильно$

$равносильно косинус x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка =0 косинус x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка косинус x=0, новая строка косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n, новая строка x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$ $равносильно косинус x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка =0 косинус x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка косинус x=0, новая строка косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n, новая строка x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

Мы получили корни уравнения-следствия. Возможно, что некоторые из них не подойдут, если они не удовлетворяют ограничениям, указанным выше. Проверим.

При $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z$ $синус 3x минус косинус 2x= синус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус косинус Пи = минус 1 плюс 1=0.$ Итак, числа вида $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z$ корнями уравнения не являются.

Если $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ,$ то $синус 3x минус косинус 2x= минус синус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус косинус левая круглая скобка минус Пи правая круглая скобка =1 плюс 1=2 больше 0.$

Пусть $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ Тогда $синус 3x минус косинус 2x= синус Пи минус косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби =0 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби больше 0.$

Если же $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ,$ то

$синус 3x минус косинус 2x= синус левая круглая скобка минус Пи правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =$
$=0 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби больше 0.$ $синус 3x минус косинус 2x=$
$= синус левая круглая скобка минус Пи правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =$
$=0 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби больше 0.$

Искомыми корнями являются числа вида: $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ;$ $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$

б)  На числовой оси отрезок $левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ получается из отрезка $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ сдвигом его вправо на $2 Пи$ единиц. На отрезке $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ обнаруживается единственный корень уравнения: $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$ Следовательно, искомым корнем будет $2 Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ;$ $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505948

а) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ;$ $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 18

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505942	а) $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) Таких корней нет.
2	505948	а) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ;$ $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$