а)  Да, могло. На­при­мер, если числа за­пи­са­ны в по­ряд­ке 9, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 18, 17, 10.

б)  Всего по кругу за­пи­са­но 10 чисел. Для каж­дой пары со­сед­них чисел мы ищем наи­боль­ший общий де­ли­тель, сле­до­ва­тель­но, по­лу­чим 10 наи­боль­ших общих де­ли­те­лей. Если они все по­пар­но раз­лич­ны, то хотя бы один из них не мень­ше 10. Но та­ко­го быть не может, по­сколь­ку для дан­ных чисел наи­боль­ший из все­воз­мож­ных наи­боль­ших общих де­ли­те­лей есть НОД(18, 9)  =  9.

в)  Числа 11, 13 и 17 яв­ля­ют­ся про­сты­ми, наи­боль­шие общие де­ли­те­ли этих чисел со всеми осталь­ны­ми чис­ла­ми рав­ня­ют­ся 1. Каж­дое из чисел имеет двух со­се­дей, сле­до­ва­тель­но, хотя бы два числа из этих трёх будут иметь по край­ней мере од­но­го со­се­да, от­лич­но­го от этих трёх чисел. Таким об­ра­зом, хотя бы че­ты­ре из всех наи­боль­ших общих де­ли­те­лей будут рав­нять­ся 1, то есть сов­па­дать. Сле­до­ва­тель­но, не может быть боль­ше, чем семь по­пар­но раз­лич­ных наи­боль­ших общих де­ли­те­лей, по­сколь­ку всего их де­сять, причём че­ты­ре сов­па­да­ют. Для рас­ста­нов­ки 9, 18, 12, 16, 14, 13, 11, 17, 10, 15 по­лу­ча­ет­ся ровно 7 по­пар­но раз­лич­ных наи­боль­ших общих де­ли­те­лей.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  семь.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Сер­гея Ни­ко­ла­е­ва.

Среди чисел от 9 до 18 есть про­стые числа 11, 13, 17. Для пары, со­дер­жа­щей про­стое число, наи­боль­ший общий де­ли­тель равен 1. Сле­до­ва­тель­но, хотя бы для двух пар наи­боль­шие общие де­ли­те­ли сов­па­да­ют.

а)  Да, могло. На­при­мер, если числа за­пи­са­ны в по­ряд­ке 10, 21, 20, 19, 16, 15, 14, 11, 18, 13, 12, 17.

б)  Всего по кругу за­пи­са­но 12 чисел. Для каж­дой пары со­сед­них чисел мы ищем наи­боль­ший общий де­ли­тель, сле­до­ва­тель­но, по­лу­чим 12 наи­боль­ших общих де­ли­те­лей. Если они все по­пар­но раз­лич­ны, то хотя бы один из них не мень­ше 12. Но та­ко­го быть не может, так как для дан­ных чисел наи­боль­ший из все­воз­мож­ных наи­боль­ших общих де­ли­те­лей есть НОД(10,20) = 10.

в)  Числа 11, 13, 17 и 19 яв­ля­ют­ся про­сты­ми, наи­боль­шие общие де­ли­те­ли этих чисел со всеми осталь­ны­ми чис­ла­ми рав­ня­ют­ся 1. Каж­дое из чисел имеет двух со­се­дей, сле­до­ва­тель­но, хотя бы два числа из этих четырёх будут иметь по край­ней мере од­но­го со­се­да, от­лич­но­го от этих четырёх чисел. Таким об­ра­зом, хотя бы пять из всех наи­боль­ших общих де­ли­те­лей будут рав­нять­ся 1, то есть сов­па­дать. Сле­до­ва­тель­но, не может быть боль­ше чем во­семь по­пар­но раз­лич­ных наи­боль­ших общих де­ли­те­лей, по­сколь­ку всего их две­на­дцать, причём пять сов­па­да­ют. Для рас­ста­нов­ки 10, 20, 19, 17, 13, 11, 18, 12, 16, 14, 21, 15 по­лу­ча­ет­ся ровно 8 по­пар­но раз­лич­ных наи­боль­ших общих де­ли­те­лей.

Ответ: а) Да; б) нет; в) во­семь.