По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 10 до 21. Для каждой из двенадцати пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.
а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?
б) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?
в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?
а) Да, могло. Например, если числа записаны в порядке 10, 21, 20, 19, 16, 15, 14, 11, 18, 13, 12, 17.
б) Всего по кругу записано 12 чисел. Для каждой пары соседних чисел мы ищем наибольший общий делитель, следовательно, получим 12 наибольших общих делителей. Если они все попарно различны, то хотя бы один из них не меньше 12. Но такого быть не может, так как для данных чисел наибольший из всевозможных наибольших общих делителей есть НОД(10,20) = 10.
в) Числа 11, 13, 17 и 19 являются простыми, наибольшие общие делители этих чисел со всеми остальными числами равняются 1. Каждое из чисел имеет двух соседей, следовательно, хотя бы два числа из этих четырёх будут иметь по крайней мере одного соседа, отличного от этих четырёх чисел. Таким образом, хотя бы пять из всех наибольших общих делителей будут равняться 1, то есть совпадать. Следовательно, не может быть больше чем восемь попарно различных наибольших общих делителей, поскольку всего их двенадцать, причём пять совпадают. Для расстановки 10, 20, 19, 17, 13, 11, 18, 12, 16, 14, 21, 15 получается ровно 8 попарно различных наибольших общих делителей.
Ответ: а) Да; б) нет; в) восемь.
В пункте а) есть более простое решение -- достаточно расположить числа в "естественном" порядке: 10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21. Тогда НОД(n,n+1)=1 и НОД(10,21)=1.