PDF-версии: 
В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.)
а) Докажите, что двугранный угол при основании пирамиды больше 
б) Найдите площадь вписанной сферы.
Решение. а) Пусть МН — высота правильной четырёхугольной пирамиды MABCD с вершиной М. тогда треугольник АМН прямоугольный. МA = 10, МН = 6, откуда
Треугольник АВН прямоугольный равнобедренный, следовательно, 
В треугольнике AMB высота
В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВН высота
Заметим, что MNH — линейный угол искомого двугранного угла. В прямоугольном треугольнике MNH катет MH больше катета NH, поскольку 
поэтому угол, лежащий напротив MH, больше, чем угол, лежащий напротив NH, а значит, больше, чем
б) Центр О сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани АМВ лежит на отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому
где r — радиус сферы.
Площадь сферы 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
откуда 
В треугольнике AMB высота 
Поэтому 
Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому 
