ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д14 C4 № 502077 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ  — 2013;

ЕГЭ по математике 19.06.2013. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 501;

Задания 16 (С4) ЕГЭ 2013.

Методы геометрии: Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей, Окружность, вписанная в четырехугольник

Многоконфигурационная планиметрическая задача. Окружности и системы окружностей

В окружности проведены хорды PQ и CD, причём PQ  =  PD  =  CD  =  8, CQ  =  6. Найдите CP.

Решение.

Возможны два случая.

Первый случай: хорды PQ и CD не пересекаются (рис. 1), тогда ∠PQC  =  180° − ∠PDC.

В треугольниках PQC и PDC

$PC в квадрате = PQ в квадрате плюс QC в квадрате минус 2 умножить на PQ умножить на QC умножить на косинус \angle PQC=100 плюс 96 умножить на косинус \angle PDC,$

$PC в квадрате = PD в квадрате плюс DC в квадрате минус 2 умножить на PD умножить на DC умножить на косинус \angle PDC=128 минус 128 умножить на косинус \angle PDC.$

Значит, $100 плюс 96 умножить на косинус \angle PDC=128 минус 128 умножить на косинус \angle PDC,$ откуда $косинус \angle PDC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби , PC=4 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Второй случай: хорды PQ и CD пересекаются (рис. 2), тогда $\angle PQC = \angle PDC.$

В треугольниках PQC и PDC

$PC в квадрате = PQ в квадрате плюс QC в квадрате минус 2 умножить на PQ умножить на QC умножить на косинус \angle PQC=100 минус 96 умножить на косинус \angle PDC,$

$PC в квадрате = PD в квадрате плюс DC в квадрате минус 2 умножить на PD умножить на DC умножить на косинус \angle PDC=128 минус 128 умножить на косинус \angle PDC,$

откуда $косинус \angle PDC = дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби , PC=4.$

Ответ: 4 или $4 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 4 или $4 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Аналоги к заданию № 502077: 502097 511372 Все

Источники:

ЕГЭ  — 2013;

ЕГЭ по математике 19.06.2013. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 501;

Задания 16 (С4) ЕГЭ 2013.

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип Д14 C4 № 502097 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 19.06.2013. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 502;

Задания 16 (С4) ЕГЭ 2013.

Методы геометрии: Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей, Окружность, вписанная в четырехугольник

Многоконфигурационная планиметрическая задача. Окружности и системы окружностей

В окружности проведены хорды PQ и CD, причём PQ  =  PD  =  CD  =  10, CQ  =  6. Найдите CP.

Решение.

Решение.

Возможны два случая. Первый случай: точки D и Q лежат в разных полуплоскостях относительно прямой CP (рис. 1), тогда ∠PQC  =  180° − ∠PDC.

В треугольниках PQC и PDC:

$PC в квадрате = PQ в квадрате плюс QC в квадрате минус 2 умножить на PQ умножить на QC умножить на косинус \angle PQC = 136 плюс 120 умножить на косинус \angle PDC;$

$PC в квадрате = PD в квадрате плюс DC в квадрате минус 2 умножить на PD умножить на DC умножить на косинус \angle PDC = 200 минус 200 умножить на косинус \angle PDC,$

откуда $косинус \angle PDC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ;$ $PC=4 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Второй случай: точки D и Q лежат в одной полуплоскости относительно прямой CP (рис. 2), тогда ∠PQC = ∠PDC. В треугольниках PQC и PDC

$PC в квадрате = PQ в квадрате плюс QC в квадрате минус 2 умножить на PQ умножить на QC умножить на косинус \angle PQC = 136 минус 120 умножить на косинус \angle PDC;$

откуда $косинус \angle PDC = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби ;$ $PC=2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Ответ: $2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; 4 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a и обоснованно получен верный ответ в пункте б	3
Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; 4 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента$

Аналоги к заданию № 502077: 502097 511372 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 19.06.2013. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 502;

Задания 16 (С4) ЕГЭ 2013.

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип Д14 C4 № 511372 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ  — 2013

Методы геометрии: Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей, Окружность, вписанная в четырехугольник

Многоконфигурационная планиметрическая задача. Окружности и системы окружностей

В окружности проведены хорды PQ и CD, причём PQ  =  PD  =  CD  =  4, CQ  =  3. Найдите CP.

Решение.

Возможны два случая.

Первый случай. Точки D и Q лежат в разных полуплоскостях относительно прямой CP (рис. 1), тогда ∠PQC  =  180° − ∠PDC.

В треугольниках PQC и PDC

$PC в квадрате = PQ в квадрате плюс QC в квадрате минус 2 умножить на PQ умножить на QC умножить на косинус \angle PQC=25 плюс 24 умножить на косинус \angle PDC;$

$PC в квадрате = PD в квадрате плюс DC в квадрате минус 2 умножить на PD умножить на DC умножить на косинус \angle PDC=32 минус 32 умножить на косинус \angle PDC,$

откуда $косинус \angle PDC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби , PC=2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Второй случай. Точки D и Q лежат в одной полуплоскости относительно прямой CP (рис. 2), тогда $\angle PQC = \angle PDC.$

В треугольниках PQC и PDC

$PC в квадрате = PQ в квадрате плюс QC в квадрате минус 2 умножить на PQ умножить на QC умножить на косинус \angle PQC=25 минус 24 умножить на косинус \angle PDC;$

откуда $косинус \angle PDC = дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби , PC=2.$

Ответ: 2 или $2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 2 или $2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Аналоги к заданию № 502077: 502097 511372 Все

Источник: ЕГЭ  — 2013

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе