PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 1 : 2.
а) Докажите, что точки A и C1 равноудалены от плоскости BED1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
Решение. а) Четырехугольник ABC1D1 — параллелограмм (даже прямоугольник), поэтому прямая AC1 пересекает плоскость BED1 в точке O, середине отрезка BD1. Пусть точки HA и HC — проекции, соответственно, точек A и C1 на плоскость BED1. Тогда треугольники HAAO и
равны по гипотенузе (AO = C1O) и острому углу, значит, 
Что и требовалось доказать.
б) Прямая D1E пересекает прямую АD в точке К. Плоскости ABC и BED1 пересекаются по прямой KB. Из точки Е опустим перпендикуляр EH на прямую KB, тогда отрезок AH (проекция EH) перпендикулярен прямой KB. Угол АНЕ является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BED1.
Поскольку 
получаем:
Из подобия треугольников A1D1E и AKE находим:
В прямоугольном треугольнике AKB с прямым углом A: 
откуда высота
Из прямоугольного треугольника AHE с прямым углом A получаем:
откуда
Ответ: б) 
Ответ может быть дан в другой форме: 
или 
Примечание.
Координатный способ решения мы продемонстрировали на примере аналогичной задачи 500367.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ может быть дан в другой форме: или Ответ может быть дан в другой форме: или 
равноудалены от плоскости BED1. 
Что и требовалось доказать.
пересекаются по прямой KB. Из точки E опустим перпендикуляр EH на прямую KB, тогда отрезок AH (проекция EH) перпендикулярен прямой KB по теореме о трех перпендикулярах. Угол EHA является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BED1.
пересекает плоскость 
Пусть точки HA и HC — проекции, соответственно, точек A и 
Тогда треугольники HAAO и 
Что и требовалось доказать.
пересекает прямую АD в точке K. Плоскости ABC и 
получаем:
и AKE находим:
откуда высота
получаем: 
Плоскость BED1 проходит через начало координат, а потому ее уравнение имеет вид 
Имеем:
тогда 
и 
а нормаль к плоскости 
и С равноудалены от плоскости BED1.
− параллелограмм (даже прямоугольник), поэтому прямая 
пересекает плоскость BED1 в точке O, середине отрезка 
и HCCO равны по гипотенузе и острому углу, значит, 
Что и требовалось доказать.
Плоскости ABC и 
получаем:
откуда высота
