Тип 19 № 507487 
Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии
i
В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2046.
а) Может ли в последовательности быть три члена?
б) Может ли в последовательности быть четыре члена?
в) Может ли в последовательности быть меньше 2046 членов?
Решение. а) Предположим, что в нашей последовательности три члена. Тогда она имеет вид: 1, a, 2046.
1. Если эти числа образуют арифметическую прогрессию, то 
Противоречие: левая часть чётна, а правая нечётна.
2. Если эти числа образуют геометрическую прогрессию, то 
Снова противоречие: 2046 не является квадратом натурального числа 
Поэтому три члена в последовательности быть не может.
б) Предположим, что в последовательности четыре члена: 1, a, b, 2046. Возможны четыре случая.
1. Первые три числа образуют арифметическую прогрессию и вторые три числа образуют арифметическую прогрессию (то есть все четыре числа образуют арифметическую прогрессию). Тогда имеем: 
Выражаем b из первого равенства и подставляем во второе:
Противоречие: левая часть делится на 3, а правая не делится.
2. Первые три числа образуют арифметическую прогрессию, а вторые три числа образуют геометрическую прогрессию. Тогда:
После исключения b:
Слева стоит квадрат нечётного числа, который также является нечётным числом. Справа стоит чётное число. Противоречие.
3. Первые три числа образуют геометрическую прогрессию, вторые три числа образуют арифметическую прогрессию. Тогда:
Приходим к квадратному уравнению: 
Его дискриминант 16369 не является квадратом натурального числа 
Значит, это уравнение не имеет натуральных корней.
4. Первые три числа образуют геометрическую прогрессию и вторые три числа образуют геометрическую прогрессию (то есть все четыре числа образуют геометрическую прогрессию). Тогда: 
Отсюда 
то есть 
Это невозможно, поскольку 2046 не является кубом натурального числа 
Итак, в каждом случае получаем противоречие. Следовательно, данная последовательность
не может состоять из четырёх членов.
в) В последовательности может быть менее 2046 членов. Вот пример арифметической прогрессии из шести чисел: 1, 410, 819, 1228, 1637, 2046.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — обоснованное решение п. а; — обоснованное решение п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) нет; б) нет; в) да
не делится на 
а 
не является квадратом натурального числа.
не делится 
но уравнение 
не имеет целых корней.
и 
где a — натуральное число. Тогда последнее число должно равняться 
