а)  Пред­по­ло­жим, что в нашей по­сле­до­ва­тель­но­сти три члена. Тогда она имеет вид: 1, a, 2046.

1.  Если эти числа об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, то Про­ти­во­ре­чие: левая часть чётна, а пра­вая нечётна.

2.  Если эти числа об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию, то Снова про­ти­во­ре­чие: 2046 не яв­ля­ет­ся квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа По­это­му три члена в по­сле­до­ва­тель­но­сти быть не может.

б)  Пред­по­ло­жим, что в по­сле­до­ва­тель­но­сти че­ты­ре члена: 1, a, b, 2046. Воз­мож­ны че­ты­ре слу­чая.

1.  Пер­вые три числа об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию и вто­рые три числа об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию (то есть все че­ты­ре числа об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию). Тогда имеем:

Вы­ра­жа­ем b из пер­во­го ра­вен­ства и под­став­ля­ем во вто­рое:

Про­ти­во­ре­чие: левая часть де­лит­ся на 3, а пра­вая не де­лит­ся.

2.  Пер­вые три числа об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, а вто­рые три числа об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию. Тогда:

После ис­клю­че­ния b:

Слева стоит квад­рат нечётного числа, ко­то­рый также яв­ля­ет­ся нечётным чис­лом. Спра­ва стоит чётное число. Про­ти­во­ре­чие.

3.  Пер­вые три числа об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию, вто­рые три числа об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Тогда:

При­хо­дим к квад­рат­но­му урав­не­нию: Его дис­кри­ми­нант 16369 не яв­ля­ет­ся квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа Зна­чит, это урав­не­ние не имеет на­ту­раль­ных кор­ней.

4.  Пер­вые три числа об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию и вто­рые три числа об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию (то есть все че­ты­ре числа об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию). Тогда:

От­сю­да то есть Это не­воз­мож­но, по­сколь­ку 2046 не яв­ля­ет­ся кубом на­ту­раль­но­го числа

Итак, в каж­дом слу­чае по­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие. Сле­до­ва­тель­но, дан­ная по­сле­до­ва­тель­ность

не может со­сто­ять из четырёх чле­нов.

в)  В по­сле­до­ва­тель­но­сти может быть менее 2046 чле­нов. Вот при­мер ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии из шести чисел: 1, 410, 819, 1228, 1637, 2046.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да