Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет ровно 
решений.
Запишем систему в виде
Полагая 
получим систему
имеющую то же количество решений. Кроме того, если пара чисел (u; y) — решение системы, то и пары чисел (u; −y), (−u; y), (−u; −y) также является решениями системы. Таким образом, если u ≠ 0 и y ≠ 0, то число решений кратно четырем. Значит, если система имеет ровно 6 решений, то либо 
либо 
Если u = 0, то 
следовательно, 
Система
имеет два решения: (0; 16), (0; −16), поэтому этот случай не подходит.
Если y = 0, то 
следовательно, 
Получаем систему:
Она имеет 6 решений, поскольку каждому значению y соответствует два разных значения u.
Ответ: 
Приведем идею графического решения.
Запишем систему в виде
Первое уравнение задает части двух парабол (см. рис.):
Второе уравнение задает окружность радиусом 
с центром 
На рисунке видно *, что шесть решений системы получаются, только если окружность проходит через точки 
и 
пересекая части параболы еще в четырех точках. При этом радиус окружности равен 
откуда 
или 
*) Докажем это. Рассмотрим на отрезке [–3; 5] функции:
и
Их графиками являются соответственно часть параболы и верхняя полуокружность с центром в точке (1; 0) радиусом |a|.
При любом значении параметра а справедливо следующее:
а) Графики функций симметричны относительно прямой x = 1, поскольку эта прямая является осью симметрии параболы, и центр окружности лежит на этой прямой.
б) Функции f и g не могут иметь больше четырех общих точек, поскольку уравнение 
имеет не больше четырех решений. Действительно,
а уравнение четвертой степени имеет не больше четырех корней.
в) Из пунктов а) и б) следует, что слева от прямой x = 1 графики функций имеют не более двух общих точек, и каждой общей точке графиков при 
соответствует симметричная относительно прямой x = 1 общая точка графиков.
При 
функции f и g обладают следующими свойствами:
г) Функции f и g в точке x = –3 принимают одно и то же значение, а потому точка (–3; 0) и симметричная ей точка (5; 0) являются общими точками графиков.
д) Правые касательные лучи к графикам в точке x = –3 составляют с осью абсцисс разные углы, поскольку касательный луч к окружности вертикален, а касательный луч к параболе — нет.
е) Из пунктов г) и д) следует, что на правой полуокрестности точки x = –3 график функции f лежит ниже графика функции g.
ё) В точке x = 1 график функции f лежит выше графика функции g (вершина параболы лежит над окружностью), поскольку 
ж) Из пунктов е) и ё) следует, что на интервале (–3; 1) графики функций f и g имеют общую точку, а потому имеют и симметричную ей относительно прямой x = 1 общую точку на интервале (1; 5).
з) Из пунктов б) и ж) следует, что графики функций f и g на отрезке [–3; 5] имеют четыре общие точки, а больше четырех общих точек быть не может.
и) Рассмотрим теперь функции −f и –g, их графики симметричны графикам функций f и g относительно оси абсцисс (на рисунке это парабола, вершина которой лежит ниже оси абсцисс, и нижняя полуокружность). Проводя аналогичные рассуждения получим, что при графики функций –f и –g имеют на отрезке [–3; 5] имеют ровно четыре общие точки.
к) Точки (–3; 0) и (5; 0) являются общими для графиков f и g и −f и –g, поэтому из пунктов з) и и) следует, что при система уравнений 
имеет ровно шесть решений.
Осталось показать, что прочие значения параметра не подходят. Оставим это читателю в качестве упражнения.
Примечание Дмитрия Гущина.
Обратим внимание читателя, что использовать графический способ решения задач можно только в том случае, когда «увиденные» на графиках свойства либо:
а) очевидны: например, окружность, заключающая вершину параболы, имеет с ней ровно две общие точки;
б) изучены в школьном курсе: например, прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, является касательной к ней;
в) напрямую следуют из изученного материала: квадратичная функция является выпуклой вверх или вниз (это доказывается путем устного взятия второй производной).
Если вы не можете в один-два шага устно объяснить какой-то снятый с рисунка факт, считать его доказанным нельзя. Скажем, невертикальную прямую, имеющую единственную общую точку с параболой, не следует без необходимости называть касательной: проверяющий ЕГЭ эксперт может посчитать это необоснованным. В таком случае на апелляции вам поможет, только если вы объясните, как быстро устно прийти к такому заключению или в каком учебнике упомянуто это свойство. Другой пример: на рисунке изображена окружность с центром, лежащим внутри параболы на ее оси, имеющая с параболой ровно две общие точки. По рисунку нельзя заключать, что эти точки являются точками касания. А потому и заключение, что при небольшом увеличении радиуса окружности точек пересечения станет четыре не будет обоснованным. Также из рисунка нельзя делать вывод о том, могут ли окружность и парабола иметь ровно три точки касания и т. д.
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система 
имеет ровно решений.
Запишем систему в виде
Полагая 
получим систему
имеющую то же количество решений. Кроме того, если пара чисел (u; y) — решение системы, то и пары чисел (u; −y), (−u; y), (−u; −y) также является решениями системы. Таким образом, если u ≠ 0 и y ≠ 0, то число решений кратно четырем. Значит, если система имеет ровно 6 решений, то либо 
либо 
Если u = 0, то 
следовательно, 
Система
имеет два решения: (0; 16), (0; −16), поэтому этот случай не подходит.
Если y = 0, то 
следовательно, 
Получаем систему:
Она имеет 6 решений, так как каждому значению y соответствует два разных значения u.
Ответ: 
Приведем идею графического решения.
Преобразуем систему: 
Первое уравнение задает части двух парабол: 
(см. рис.).
Второе уравнение задает окружность радиусом 
с центром 
На рисунке видно, что шесть решений системы получаются, только если окружность проходит через точки 
и 
пересекая параболу еще в четырех точках.
При этом радиус окружности равен откуда 
или 
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система 
имеет ровно 4 решения.
Запишем систему в виде
Полагая 
находим:
Из первого уравнения полученной системы по известному значению v можно найти не больше двух значений u, причем два решения имеются тогда и только тогда, когда 
Чтобы исходная система имела ровно 4 решения, второе ее второе уравнение должно иметь либо единственное решение, принадлежащее промежутку (0; 9), либо одно отрицательное решение и одно решение их промежутка (0; 9). В первом случае дискриминант равен нулю: 
откуда 
при таких значениях параметра 
Второй случай реализуется тогда и только тогда, когда квадратный трехчлен, стоящий в левой части уравнения, в точке 0 отрицателен, а в точке 9 — положителен, то есть если:
Ответ: 
Приведем другое решение.
Преобразуем систему:
Первое уравнение задает части двух парабол (см. рис.):
Второе уравнение задает окружность радиусом с центром 
На рисунке видно, что четыре решения системы получаются в двух случаях.
1. Окружность касается каждой из ветвей обеих парабол.
2. Окружность пересекает каждую из ветвей обеих парабол в двух точках, лежащих по разные стороны от оси абсцисс.
Составим уравнение для ординат общих точек окружности и параболы 
Получим: 
откуда 
Чтобы окружность касалась парабол, уравнение должно иметь нулевой дискриминант: 
откуда 
Во втором случае радиус окружности заключен между числами 3 и 9.
Ответ:
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Приведем другое решение.
Преобразуем систему:
Первое уравнение задает части двух парабол (см. рис.):
Второе уравнение задает окружность радиусом с центром
На рисунке видно, что четыре решения системы получаются в двух случаях.
1. Окружность касается каждой из ветвей обеих парабол.
2. Окружность пересекает каждую из ветвей обеих парабол в двух точках, лежащих по разные стороны от оси абсцисс.
Составим уравнение для ординат общих точек окружности и параболы Получим: откуда Чтобы окружность касалась парабол, уравнение должно иметь нулевой дискриминант: откуда Во втором случае радиус окружности заключен между числами 3 и 9.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система 
имеет ровно 8 решений.
Запишем систему в виде
Полагая 
находим:
Из первого уравнения полученной системы по известному значению υ можно найти не больше двух значений u, причем два решения имеются тогда и только тогда, когда 
Чтобы исходная система имела ровно 8 решений, второе уравнение полученной должно иметь два различных положительных корня, каждый из которых меньше 4, что задается следующей системой требований: а) дискриминант уравнения больше нуля, б) в точках 0 и 4 квадратный трехчлен, стоящий в левой части уравнения, положителен, в) абсцисса вершины параболы, являющейся графиком этого квадратного трехчлена, положительна и меньше чем 4. Последнее условие, очевидно, выполнено: 
Остальные условия запишем в систему и решим ее:
Ответ: 
Приведем другое решение.
Преобразуем систему:
Первое уравнение задает части двух парабол:
Второе уравнение задает окружность радиусом с центром 
На рисунке видно, что система имеет восемь решений, только если радиус окружности меньше 2 и окружность дважды пересекает каждую ветвь каждой из парабол. Это условие в силу симметрии равносильно тому, что окружность пересекает правую ветвь параболы 
в двух точках с положительными ординатами.
Получаем уравнение 
откуда
которое должно иметь два различных положительных корня меньших 4. Следовательно, поскольку один из подходящих корней всегда положителен, дискриминант и свободный член этого уравнения должны быть положительны:
Ответ:
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Наверх