Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система 
имеет ровно 8 решений.
Запишем систему в виде
Полагая 
находим:
Из первого уравнения полученной системы по известному значению υ можно найти не больше двух значений u, причем два решения имеются тогда и только тогда, когда 
Чтобы исходная система имела ровно 8 решений, второе уравнение полученной должно иметь два различных положительных корня, каждый из которых меньше 4, что задается следующей системой требований: а) дискриминант уравнения больше нуля, б) в точках 0 и 4 квадратный трехчлен, стоящий в левой части уравнения, положителен, в) абсцисса вершины параболы, являющейся графиком этого квадратного трехчлена, положительна и меньше чем 4. Последнее условие, очевидно, выполнено: 
Остальные условия запишем в систему и решим ее:
Ответ: 
Приведем другое решение.
Преобразуем систему:
Первое уравнение задает части двух парабол:
Второе уравнение задает окружность радиусом 
с центром 
На рисунке видно, что система имеет восемь решений, только если радиус окружности меньше 2 и окружность дважды пересекает каждую ветвь каждой из парабол. Это условие в силу симметрии равносильно тому, что окружность пересекает правую ветвь параболы 
в двух точках с положительными ординатами.
Получаем уравнение 
откуда
которое должно иметь два различных положительных корня меньших 4. Следовательно, поскольку один из подходящих корней всегда положителен, дискриминант и свободный член этого уравнения должны быть положительны:
Ответ:
Радиус должен быть меньше 4, а не 2, так как при R<2 окружность вообще не имеет точек пересечения с параболами.
при R=2 будет шесть точек пересечения,
а при 2при R<2 возможно: восемь точек, четыре точки и отсутствие общих точек