При каких значениях параметра а система 
имеет единственное решение?
Прежде всего: заметим, что если 
— решение системы при некотором значении параметра а, то при этом значении параметра решением системы будет и 
Отсюда следует, что условие 
является необходимым условием существования у системы единственного решения.
При система перепишется в виде
Решая эту систему относительно а, находим, что требуемые значения а могут принадлежать только множеству 
Пусть 
Тогда система примет вид
Из второго уравнения системы следует, что 
и 
и, таким образом, 
Учитывая теперь, что 
приходим к неравенству
которое означает, что первое равенство системы справедливо только при 
следовательно, 
т. е. при 
Итак, при 
система имеет единственное решение.
Пусть теперь 
При таком значении параметра а система перепишется в виде
Эта система имеет решения 
и, таким образом, при 
условию единственности решения не удовлетворяет. Заметим, что решения здесь просто угаданы.
Ответ:
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Найти все значения a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Прежде всего: заметим, что если 
— решение системы при некотором значении параметра а, то при этом значении параметра решением системы будет и 
Отсюда следует, что условие является необходимым условием существования у системы единственного решения.
При система перепишется в виде
Решая эту систему относительно а, находим, что требуемые значения а могут принадлежать только множеству 
Пусть 
Тогда система примет вид
Из второго уравнения системы следует, что и и, таким образом, 
Учитывая теперь, что 
приходим к неравенству
которое означает, что первое равенство системы справедливо только при 
следовательно, то есть при Итак, при 
система имеет единственное решение.
Пусть теперь 
При таком значении параметра а система перепишется в виде
Эта система имеет решения и, таким образом, при 
условию единственности решения не удовлетворяет. Заметим, что решения здесь просто угаданы.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх