Ре­ше­ние. Вы­со­та па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна вы­со­те впи­сан­но­го в него ци­лин­дра. Ос­но­ва­ни­ем па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся квад­рат, сто­ро­на ко­то­ро­го в два раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в него окруж­но­сти. По­это­му сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 8, а пло­щадь ос­но­ва­ния равна 64. Тогда вы­со­та ци­лин­дра равна

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние. Объем приз­мы равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ее ос­но­ва­ния на вы­со­ту и вы­ра­жа­ет­ся через сто­ро­ну ос­но­ва­ния а и вы­со­ту Н фор­му­лой По­это­му а зна­чит, при уве­ли­че­нии сто­ро­ны а в 4 раза зна­ме­на­тель уве­ли­чит­ся в 16 раз, то есть вы­со­та умень­шит­ся в 16 раз и будет равна 5 см.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

BE  — боль­шая диа­го­наль пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, ее длина равна его удво­ен­ной сто­ро­не. По­это­му По­сколь­ку имеем:

Ответ: 200.

Ре­ше­ние. Мень­ший конус по­до­бен боль­ше­му с ко­эф­фи­ци­ен­том 0,5. Объ­е­мы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му объем боль­ше­го ко­ну­са в 8 раз боль­ше объ­е­ма мень­ше­го ко­ну­са, он равен 432 мл. Сле­до­ва­тель­но, не­об­хо­ди­мо до­лить 432 − 54 = 378 мл жид­ко­сти.

Ответ: 378.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть грань ASB пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию, точка G  — се­ре­ди­на сто­ро­ны DC. Бо­ко­вые грани SAD, SBC и SDC на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под углом 60°, по­это­му углы A и B в тре­уголь­ни­ке ASB и угол G в тре­уголь­ни­ке SGH равны по 60°. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ASB  — рав­но­сто­рон­ний, а его сто­ро­на свя­за­на с вы­со­той фор­му­лой от­ку­да

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SHG на­хо­дим:

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD  — пря­мо­уголь­ник, по­это­му его пло­щадь равна про­из­ве­де­нию длин сто­рон:

Оста­лось найти объём пи­ра­ми­ды:

Ответ: 48.