PDF-версии: 
В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K — середина ребра B1C1. Плоскость α проходит через точки B, K и D.
а) Докажите, что сечение куба плоскостью α является равнобедренной трапецией.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α, если ребро куба равно 3.
Решение. а) Проведем через точку K прямую, параллельную прямой DB. Она пересечет прямую C1D1 в точке N. Прямая NK параллельна прямой B1D1, тогда по теореме Фалеса точка N — середина отрезка C1D1. Четырехугольник DBKN — искомое сечение. Треугольники DD1N и BB1K равны по двум катетам, следовательно,
Таким образом, четырехугольник DBKN — равнобедренная трапеция.
б) Продлим прямые СС1, DN и BK до пересечения в точке P (см. рис.). Проведем перпендикуляр PE в треугольнике PNK и перпендикуляр C1H в треугольнике EPC1. По теореме о трех перпендикулярах прямая C1E перпендикулярна прямой NK. Прямая NK перпендикулярна плоскости C1PE. Прямая С1H перпендикулярна прямой PE и прямой NK, следовательно, она перпендикулярна искомой плоскости.
Треугольник BCP подобен треугольнику KC1P, откуда 
то есть отрезки CC1 и PC1 равны. Отрезок AC 
В прямоугольном треугольнике PCO по теореме Пифагора получим:
Следовательно,
Таким образом, из прямоугольного треугольника PHC1 находим искомое расстояние:
Ответ: б) 1.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В прямоугольном треугольнике PCO по теореме Пифагора получим:
Запишем объем пирамиды C1A1KM двумя способами и выразим ρ:
Таким образом, четырехугольник AKMC — равнобедренная трапеция.
то есть 
В равностороннем треугольнике ABC высота равна 
Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна произведению длин катетов, деленному на длину гипотенузы, поэтому в треугольнике PNB получаем:
В равностороннем треугольнике ABC высота равна 
Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна произведению длин катетов, деленному на длину гипотенузы, поэтому в треугольнике PNB получаем:
Шестиугольник ABCDEF — правильный, следовательно, прямая BC соответственно параллельна прямым AD и KM, а 
В четырехугольнике BCKM прямые KM и BC параллельны и 
а потому этот четырехугольник — параллелограмм. Прямые BK и CM параллельны, значит, они лежат в одной плоскости.
Из прямоугольного треугольника NOQ получаем:
Из прямоугольного треугольника NOQ получаем:
Проведем через точку H прямую параллельно прямой AD. Пусть она пересекает ребра AB и DC в точках E и F соответственно.
поэтому отрезок FH — средняя линия треугольника DNO. Следовательно, точка F — середина отрезка DN и 
Получаем:
тогда из прямоугольного треугольника KMH получаем:
и объем пирамиды SBACD равен:
Получаем:
тогда из прямоугольного треугольника KMH получаем:
объем пирамиды SBACD равен:
откуда
По теореме косинусов для треугольника CAA2 получаем:
