В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K — середина ребра B1C1. Плоскость α проходит через точки B, K и D.
а) Докажите, что сечение куба плоскостью α является равнобедренной трапецией.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α, если ребро куба равно 3.
а) Проведем через точку K прямую, параллельную прямой DB. Она пересечет прямую C1D1 в точке N. Прямая NK параллельна прямой B1D1, тогда по теореме Фалеса точка N — середина отрезка C1D1. Четырехугольник DBKN — искомое сечение. Треугольники DD1N и BB1K равны по двум катетам, следовательно, 
Таким образом, четырехугольник DBKN — равнобедренная трапеция.
б) Продлим прямые СС1, DN и BK до пересечения в точке P (см. рис.). Проведем перпендикуляр PE в треугольнике PNK и перпендикуляр C1H в треугольнике EPC1. По теореме о трех перпендикулярах прямая C1E перпендикулярна прямой NK. Прямая NK перпендикулярна плоскости PNK. Прямая С1H перпендикулярна прямой PE и прямой NK, следовательно, она перпендикулярна искомой плоскости.
Треугольник BCP подобен треугольнику KC1P, откуда 
то есть отрезки CC1 и PC1 равны. Отрезок AC 
В прямоугольном треугольнике PCO по теореме Пифагора получим:
Следовательно,
Таким образом, из прямоугольного треугольника PHC1 находим искомое расстояние:
Ответ: б) 1.