PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение.
а) Преобразуем уравнение:
Отметим корни полученных серий и область допустимых значений на единичной окружности. Оранжевым обозначим промежутки 
зелеными точками покажем корни серии (1), синими — корни серии (2) (см. рис. 1). Из рисунка получаем, что
б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис. 2). Подходят 
и 
Ответ: 
и
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б) и
и 697008
и 
Пусть точка K — середина ребра AF, точка P — середина ребра CD, точки O и O1 — центры нижнего и верхнего оснований соответственно. Введем систему координат с началом в точке O, оси направим так, как показано на рисунке. В этой системе координат:
Следовательно, векторы 
и 
коллинеарны, откуда находим уравнение плоскости α:
Точка L пересечения этой прямой с плоскостью α имеет 
Подставим известные координаты и решим систему:
ее нормаль — вектор 
Для искомого угла φ получаем:
пересекает меньшую окружность в точках L и T так, как показано на рисунке. Квадрат длины отрезка касательной, проведенной из точки вне окружности, равен произведению длины всей секущей, проходящей через ту же точку, на длину ее внешней части, поэтому 
Квадрат длины касательной, проведенной к окружности из точки вне ее, равен произведению длины всей секущей на длину ее внешней части, проведенной из той же точки, поэтому 
Следовательно,
то есть 
Пусть 
и прямые MN и CD пересекаются в точке P. Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров, поэтому прямая MN перпендикулярна прямой AC. Значит, прямые MN и BD параллельны, то есть треугольник CKP — прямоугольный и равнобедренный. Отсюда следует, что 
и 
Из равнобедренного и прямоугольного треугольника CKP находим:
откуда получаем:
Графиком первой системы является объединение отрезков и лучей параллельных прямых 
с целыми абсциссами, лежащие между ветвями парабол 
и 
Графиком второй системы является объединение ветвей двух парабол 
и 
с выколотыми точками, дробная часть абсцисс которых равна 0,5. Пусть 
и 
тогда 
пять корней;
три корня;
пять корней;
три корня;
один корень;
три корня;
один корень;
три корня;
один корень;
три корня;
пять корней;
три корня;
не менее пяти корней.
построен, причем 
Пусть 
тогда рассмотрим набор 
Докажем, что он подходит. Для такого набора верно 
В самом деле, для любого i
кратно ai, а потому и 
кратно 
В таком случае 
откуда 
или 
Следовательно, в таком наборе может быть не более трех чисел.
кратно 
В таком случае 
откуда либо 
либо 
либо 
Следовательно, в таком наборе будут 