ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 697013 Добавить в вариант

Найдите все положительные значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно три различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем уравнение:

$натуральный логарифм левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: a в степени 4 минус 4a в квадрате минус x в квадрате плюс 4x конец аргумента = 0 равносильно натуральный логарифм левая круглая скобка косинус в квадрате левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: a в степени 4 минус 4a в квадрате плюс 4 минус x в квадрате плюс 4x минус 4 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно натуральный логарифм левая круглая скобка косинус в квадрате левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: левая круглая скобка a в квадрате минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = 0 равносильно совокупность выражений система выражений косинус в квадрате левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка =1, левая круглая скобка a в квадрате минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0, конец системы . система выражений левая круглая скобка a в квадрате минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате =0, косинус в квадрате левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка больше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений косинус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка = \pm 1, левая круглая скобка a в квадрате минус x правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0, конец системы . система выражений левая круглая скобка a в квадрате минус x правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс x минус 4 правая круглая скобка =0, косинус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка не равно 0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x=k, левая круглая скобка a в квадрате минус x правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0, конец системы . система выражений совокупность выражений x=a в квадрате , x=4 минус a в квадрате , конец системы . x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс n, конец совокупности . конец совокупности . k, n принадлежит Z .$

Построим график полученной совокупности на плосокости xOa при $a больше 0.$ Графиком первой системы является объединение отрезков и лучей параллельных прямых $x=k$ с целыми абсциссами, лежащие между ветвями парабол $a= корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $a= корень из: начало аргумента: 4 минус x конец аргумента .$ Графиком второй системы является объединение ветвей двух парабол $a= корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $a= корень из: начало аргумента: 4 минус x конец аргумента$ с выколотыми точками, дробная часть абсцисс которых равна 0,5. Пусть $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 4 минус x конец аргумента ,$ тогда

$f левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 0,5 конец аргумента =g левая круглая скобка 3,5 правая круглая скобка = a_1,$

$f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =1=g левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =a_2,$

$f левая круглая скобка 1,5 правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 1,5 конец аргумента =g левая круглая скобка 2,5 правая круглая скобка = a_3,$

$f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = корень из 2 =g левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = a_4,$

$f левая круглая скобка 2,5 правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 2,5 конец аргумента =g левая круглая скобка 1,5 правая круглая скобка = a_5,$

$f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка = корень из 3 =g левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = a_6$

и $f левая круглая скобка 3,5 правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3,5 конец аргумента =g левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка = a_7.$

Заметим также, что полученный график симметричен относительно прямой $x=2.$

Проанализируем число корней в зависимости от значения параметра a с помощью графика. Получаем, что уравнение имеет

— при $0 меньше a меньше a_1$ пять корней;

— при $a=a_1$ три корня;

— при $a_1 меньше a меньше a_2$ пять корней;

— при $a_2 меньше или равно a меньше a_3$ три корня;

— при $a=a_3$ один корень;

— при $a_3 меньше a меньше a_4$ три корня;

— при $a=a_4$ один корень;

— при $a_4 меньше a меньше a_5$ три корня;

— при $a=a_5$ один корень;

— при $a_5 меньше a меньше или равно a_6$ три корня;

— при $a_6 меньше a меньше a_7$ пять корней;

— при $a=a_7$ три корня;

— при $a больше a_7$ не менее пяти корней.

Таким образом, получаем ответ.

Ответ: $левая фигурная скобка корень из: начало аргумента: 0,5 конец аргумента , корень из: начало аргумента: 3,5 конец аргумента правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 1; корень из: начало аргумента: 1,5 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 1,5 конец аргумента ; корень из 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из 2 ; корень из: начало аргумента: 2,5 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2,5 конец аргумента ; корень из 3 правая квадратная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 532

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Уравнения с параметром, Иррациональные уравнения

Методы алгебры: Выделение полного квадрата, Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь