В квадрате ABCD построена окружность с центром в точке А, радиусом, равным стороне квадрата, и окружность с центром в точке С, радиусом, равным половине стороны квадрата. Окружности пересекаются в точках М и N.
а) Докажите, что прямая MN делит сторону ВС в отношении 3 : 5, считая от точки В.
б) Найдите площадь четырёхугольника AMCN, если площадь квадрата равна 8.
а) Пусть прямые MN и BC пересекаются в точке K. Пусть прямая 
пересекает меньшую окружность в точках L и T так, как показано на рисунке. Квадрат длины отрезка касательной, проведенной из точки вне окружности, равен произведению длины всей секущей, проходящей через ту же точку, на длину ее внешней части, поэтому 
Квадрат длины касательной, проведенной к окружности из точки вне ее, равен произведению длины всей секущей на длину ее внешней части, проведенной из той же точки, поэтому 
Следовательно,
Таким образом,
б) Из условия находим, что 
то есть 
Пусть 
и прямые MN и CD пересекаются в точке P. Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров, поэтому прямая MN перпендикулярна прямой AC. Значит, прямые MN и BD параллельны, то есть треугольник CKP — прямоугольный и равнобедренный. Отсюда следует, что 
и 
Из равнобедренного и прямоугольного треугольника CKP находим:
Следовательно,
Из пункта а) известно, что 
откуда получаем:
Диагонали четырехугольника AMCN перпендикулярны, поэтому его площадь равна
Ответ: 