Ре­ше­ние. а)  Пусть тре­уголь­ник ABC  — ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды, от­ре­зок DH  — его вы­со­та. Тогда пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки DAH, DBH и DCH равны по ка­те­ту и остро­му углу, то есть и точка H  — центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC. Точка O рав­но­уда­ле­на от точек A, B и C, по­это­му она лежит на пря­мой OH.

Пусть тогда По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка AOH по­лу­ча­ем:

Зна­че­ние вы­ра­же­ния

по­ло­жи­тель­но, по­это­му точка O лежит между точ­кой D и плос­ко­стью ABC.

б)  По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC по­лу­ча­ем:

где R_ABC  — ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти. Из до­ка­зан­но­го в пунк­те а) из­вест­но, что и

Ответ: б)  8.

Ре­ше­ние. а)  Пусть тогда

то есть пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABM и NMD равны по ка­те­ту и остро­му углу, Углы BMN и MND равны, а по­то­му пря­мые BM и CD па­рал­лель­ны. Сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник BCDM  — па­рал­ле­ло­грамм. В нем по­это­му этот па­рал­ле­ло­грамм  — ромб, диа­го­на­ли CM и BD ко­то­ро­го пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  От­ре­зок MN  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка CMD, она делит тре­уголь­ник на два рав­но­ве­ли­ких. Сле­до­ва­тель­но,

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна

Ответ: б)  30.

Ре­ше­ние. Ясно, что трой­ка будет пра­виль­ной в тех и толь­ко тех слу­чая, когда все числа в ней четны или все числа в ней не­чет­ны. Кроме того, если в трой­ке были числа a, b, c и стали то раз­но­сти между чис­ла­ми груп­пы были (воз­мож­но с дру­ги­ми зна­ка­ми, если числа упо­ря­до­че­ны по-дру­го­му), а стали то есть умень­ши­лись вдвое.

а)  Если одна из раз­но­стей после мно­го­крат­ных де­ле­ний на 2 стала ну­ле­вой, то она и была ну­ле­вой, то есть из­на­чаль­но были два оди­на­ко­вых числа. Но это за­пре­ще­но по усло­вию.

б)  Нет. Раз­но­сти между чле­на­ми груп­пы умень­ша­ют­ся вдвое, при этом оста­ва­ясь це­лы­ми. Если не все они были ну­ля­ми (то есть не все числа были равны), это не смо­жет про­дол­жать­ся бес­ко­неч­но.

в)  При­ве­дем сна­ча­ла ответ: В этом ва­ри­ан­те школь­ни­ков 9 и их сред­ний балл 84, а сумма бал­лов в по­сле­до­ва­тель­но­сти За­ме­тим, что

то есть сумма чисел в пра­виль­ной трой­ке все­гда одна и та же. Все они на­бра­ли ми­ни­мум 40 бал­лов и мак­си­мум 100 бал­лов, по­это­му раз­ни­ца между ми­ни­маль­ным и мак­си­маль­ным бал­ла­ми не боль­ше 60. Она равна сумме двух раз­но­стей (мак­си­маль­но­го со сред­ним и сред­не­го с ми­ни­маль­ным), зна­чит, одна из раз­но­стей не боль­ше 30 и по­то­му не де­лит­ся на 32. Зна­чит, по­вто­рять опе­ра­цию можно будет не боль­ше 4 раз. Далее, все воз­мож­ные баллы, кроме 95, 97, 99 четны, по­это­му сде­лать баллы не­чет­ны­ми нель­зя. До­ка­жем это.

Если это еще не по­след­нее дей­ствие, то они все долж­ны при­сут­ство­вать, тогда на преды­ду­щем шаге долж­ны были быть числа 100, 98 (по-дру­го­му не по­лу­чить 99), а еще на шаг назад от­сту­пить нель­зя (по­то­му что 100 нель­зя по­лу­чить как сред­нее), зна­чит, всего было не более трех троек (одна с чис­лом 100, дру­гая с тремя не­чет­ны­ми, тре­тья 96, 97, 98) и сумма в них не пре­вос­хо­дит

Если же это по­след­нее дей­ствие, перед ко­то­рым было не менее трех троек (если две, то сумма также не пре­вос­хо­дит 900), то в пер­вой трой­ке все раз­но­сти де­ли­лись ми­ни­мум на 8, по­это­му наи­боль­шие воз­мож­ные числа могли быть 100 и 92, а наи­боль­шее уже во вто­рой трой­ке могло быть 96. Ана­ло­гич­но во вто­рой трой­ке все раз­но­сти де­ли­лись на 4, по­это­му наи­боль­шее в тре­тьей трой­ке могло быть не боль­ше На­чи­ная с этого мо­мен­та, чисел, не мень­ших 95, не по­явит­ся.

Зна­чит, дей­стви­тель­но даже 4 раза по­вто­рить опе­ра­цию нель­зя, а можно толь­ко 3. Наи­боль­шие воз­мож­ные числа для на­ча­ла опе­ра­ций это 100, Тогда по­лу­чим ответ, ука­зан­ный вна­ча­ле.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  сред­ний балл 84, школь­ни­ков 9 (если счи­тать, что баллы не по­вто­ря­лись, иначе их может быть сколь­ко угод­но).