ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 17 № 695739 Добавить в вариант

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом A на основании AD отмечена точка M, а на стороне CD точка N так, что AM  =  DN и $\angle BMN = \angle MND = 90 градусов.$

а)  Докажите, что прямые BD и CM перпендикулярны.

б)  Найдите площадь трапеции ABCD, если площадь треугольника ABM равна 6, а точка N  — середина CD.

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть $\angle ABM = альфа ,$ тогда

$\angle NMD = 180 градусов минус 90 градусов минус левая круглая скобка 90 градусов минус альфа правая круглая скобка = альфа ,$

то есть прямоугольные треугольники ABM и NMD равны по катету и острому углу, $BM = MD.$ Углы BMN и MND равны, а потому прямые BM и CD параллельны. Следовательно, четырехугольник BCDM  — параллелограмм. В нем $BM = MD,$ поэтому этот параллелограмм  — ромб, диагонали CM и BD которого перпендикулярны.

б)  Отрезок MN  — медиана треугольника CMD, она делит треугольник на два равновеликих. Следовательно,

$S_BCDM = 2S_CMD = 4S_MND = 4S_ABM = 4 умножить на 6 = 24.$

Площадь трапеции ABCD равна

$S_ABCD = S_ABM плюс S_BCDM = 6 плюс 24 = 30.$

Ответ: б)  30.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 528

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь