Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние тан­генс 2x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби = \ctg x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус 5x конец дроби .

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Най­дем об­ласть опре­де­ле­ния урав­не­ния:

си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус 2x не равно q 0, синус x не равно q 0, синус 5x не равно q 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x не равно q дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи m, x не равно q Пи q, 5x не равно q Пи l, конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи m, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи l, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , конец си­сте­мы . m, q, l при­над­ле­жит Z .

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние при этих огра­ни­че­ни­ях:

тан­генс 2x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби = \ctg x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус 5x конец дроби рав­но­силь­но тан­генс 2x минус \ctg x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус 5x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: синус x синус 2x минус ко­си­нус x ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: синус x ко­си­нус 2x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус x минус синус 5x, зна­ме­на­тель: синус x синус 5x конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 3x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 2x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 синус 2x ко­си­нус 3x, зна­ме­на­тель: синус 5x конец дроби рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 3x левая круг­лая скоб­ка синус 5x минус 2 синус 2x ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­си­нус 2x синус 5x конец дроби = 0 рав­но­силь­но ко­си­нус 3x левая круг­лая скоб­ка синус 5x минус синус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но 2 ко­си­нус 3x синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 9x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус 3x = 0, ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 9x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 3x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n, дробь: чис­ли­тель: 9x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби , конец со­во­куп­но­сти . k, n при­над­ле­жит Z .

При k = 9p плюс 4, p при­над­ле­жит Z корни вто­рой серии имеют вид

дробь: чис­ли­тель: Пи плюс 2 Пи левая круг­лая скоб­ка 9p плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 18 Пи p плюс 9 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = Пи плюс 2 Пи p, p при­над­ле­жит Z .

В этих точ­ках синус x = 0, по­это­му окон­ча­тель­ный ответ есть x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби , k при­над­ле­жит Z \setminus левая фи­гур­ная скоб­ка 9p плюс 4 : p при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

б)  Точки 0 и  Пи не удо­вле­тво­ря­ют огра­ни­че­ни­ям, по­это­му будем ис­кать корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие ин­тер­ва­лу  левая круг­лая скоб­ка 0; Пи пра­вая круг­лая скоб­ка . От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­но­го не­ра­вен­ства. Для x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби на­хо­дим:

0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше Пи рав­но­силь­но 0 мень­ше Пи плюс 2 Пи n мень­ше 6 Пи рав­но­силь­но 0 мень­ше 1 плюс 2n мень­ше 6 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но минус 1 мень­ше 2n мень­ше 5 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше n мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \underset n при­над­ле­жит Z \mathop рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний n = 0, n = 1, n = 2. конец со­во­куп­но­сти .

Най­ден­ным зна­че­ни­ям па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ют числа дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Для x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби на­хо­дим:

0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби мень­ше Пи рав­но­силь­но 0 мень­ше Пи плюс 2 Пи k мень­ше 9 Пи рав­но­силь­но 0 мень­ше 1 плюс 2k мень­ше 9 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но минус 1 мень­ше 2k мень­ше 8 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше k мень­ше 4 \underset k при­над­ле­жит Z \mathop рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний k = 0, k = 1, k = 2, k = 3. конец со­во­куп­но­сти .

Най­ден­ным зна­че­ни­ям па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ют числа дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс Пи k; дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 528
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния и не­ра­вен­ства, Об­ласть опре­де­ле­ния урав­не­ния
Методы алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти функ­ций, До­мно­же­ние на зна­ме­на­тель с учётом ОДЗ
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026