Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дят числа и

Ответ: а)  б) 

Ре­ше­ние. а)  Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков AA₁C₁, ABC₁, ADC₁ со­от­вет­ствен­но на­хо­дим:

Квад­рат длина диа­го­на­ли пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен сумме квад­ра­тов длин трех его из­ме­ре­ний, по­это­му:

б)  Из до­ка­зан­но­го в пунк­те а) на­хо­дим:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AC₁A₁ по­лу­ча­ем От­ре­зок A₁C₁ есть про­ек­ция диа­го­на­ли AC₁ на плос­кость A₁B₁C₁, сле­до­ва­тель­но, угол AC₁A₁  — ис­ко­мый.

Ответ: б)  30°.

Ре­ше­ние. Так как к концу каж­до­го k-го года вла­де­ния цен­ны­ми бу­ма­га­ми их сто­и­мость уве­ли­чи­ва­ет­ся и ста­но­вит­ся рав­ной 10k, еже­год­но сто­и­мость цен­ных бумаг вы­рас­та­ет на 10 услов­ных де­неж­ных еди­ниц. Банк еже­год­но уве­ли­чи­ва­ет вло­жен­ную сумму на 9%, сле­до­ва­тель­но, вло­жен­ная сумма вы­рас­тет за год на услов­ных де­неж­ных еди­ниц. Фирме не­об­хо­ди­мо про­дать цен­ные бу­ма­ги и вло­жить сред­ства в банк в тот мо­мент, когда го­до­вой при­рост сто­и­мо­сти цен­ных бумаг ста­нет мень­ше, чем го­до­вой доход, по­лу­ча­е­мый от вло­же­ния де­неж­ных средств в банк. По­лу­ча­ем не­ра­вен­ство:

Таким об­ра­зом, го­до­вой при­рост сто­и­мо­сти цен­ных бумаг ста­нет мень­ше, чем го­до­вой доход, по­лу­ча­е­мый от вло­же­ния де­неж­ных средств в банк при Зна­чит, фирме сле­ду­ет про­дать цен­ные бу­ма­ги в конце 12 года.

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. а)  Углы BAC и CAD равны из усло­вия, а углы CAD и CBD равны, по­то­му что опи­ра­ют­ся на одну дугу. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ABC и BKC по­доб­ны по двум углам.

б)  На дуги BC и CD опи­ра­ют­ся рав­ные углы, по­это­му эти дуги и, как след­ствие, стя­ги­ва­ю­щие их хорды равны. Зна­чит, Пусть тогда из по­до­бия тре­уголь­ни­ков ABC и BKC по­лу­ча­ем то есть:

Ответ: б)  2.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы:

Гра­фик этого урав­не­ния  — ромб. Его по­лу­ча­ют от­ра­же­ни­ем ле­жа­щей в пер­вой чет­вер­ти от­рез­ка пря­мой от­но­си­тель­но оси Oy, а затем от­ра­же­ни­ем по­стро­ен­ных от­рез­ков от­но­си­тель­но оси Ox. Вер­ши­ны этого ромба  — точки

Пре­об­ра­зу­ем вто­рое урав­не­ние си­сте­мы:

Это урав­не­ние за­да­ет на плос­ко­сти се­мей­ство окруж­но­стей ра­ди­у­са 1, цен­тры ко­то­рых на­хо­дят­ся в точке Изоб­ра­зим по­лу­чен­ные гра­фи­ки на ри­сун­ке.

Из гра­фи­ка видно, что окруж­ность при «спус­ке» по оси Oy не имеет общих точек с ром­бом, пока не прой­дет через его вер­ши­ну B. В этом слу­чае:

При окруж­ность имеет одну общую точку с ром­бом  — этот слу­чай обо­зна­чен фи­о­ле­то­вым, а при   — три общие точки  — обо­зна­чен синим. Сле­до­ва­тель­но, при окруж­ность и ромб имеют две точки пе­ре­се­че­ния.

Кроме того, две точки пе­ре­се­че­ния окруж­ность и ромб имеют, если сто­ро­ны ромба яв­ля­ют­ся ка­са­тель­ны­ми к ней  — этот слу­чай обо­зна­чен крас­ным. Рас­смот­рим, на­при­мер, сто­ро­ну BC. Ее урав­не­ние точка ка­са­ния на­хо­дит­ся от цен­тра окруж­но­сти на рас­сто­я­нии, рав­ном ра­ди­у­су, то есть 1. По фор­му­ле рас­сто­я­ния между точ­кой и пря­мой по­лу­ча­ем:

Ромб об­ла­да­ет цен­траль­ной сим­мет­ри­ей, точка пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей сов­па­да­ет с на­ча­лом ко­ор­ди­нат, по­это­му осталь­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, удо­вле­тво­ря­ю­щие за­да­че, можно по­лу­чить из­ме­не­ни­ем знака уже по­лу­чен­ных на про­ти­во­по­лож­ные.

Таким об­ра­зом,

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Вме­сте с таким пря­мо­уголь­ным под­но­сом дол­жен быть квад­рат­ный со сто­ро­ной и пло­ща­дью Зна­чит, и пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка долж­на быть 676, по­это­му его длина равна — не­це­лое число.

б)  Пусть ши­ри­на пря­мо­уголь­ни­ка равна x, тогда на столе есть квад­рат со сто­ро­ной рав­ной с пря­мо­уголь­ни­ком пло­ща­ди, от­ку­да

Зна­чит, может быть под­нос и с ним квад­рат­ный

в)  Пусть ши­ри­на пря­мо­уголь­ни­ка равна a, а длина равна b. Тогда на столе есть квад­рат со сто­ро­ной рав­ной с пря­мо­уголь­ни­ком пло­ща­ди, от­ку­да

Зна­чит, 64 крат­но a, от­ку­да по­лу­ча­ем ва­ри­ан­ты:

—

—

—

—

—

—

—

К каж­до­му пря­мо­уголь­ни­ку есть пар­ный квад­рат и все они раз­ные, по­это­му может про­да­вать­ся мак­си­мум 14 под­но­сов.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  14.