Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 691287
i

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Диа­го­наль AC лежит на бис­сек­три­се угла BAD и пе­ре­се­ка­ет­ся с диа­го­на­лью BD в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки ABC и BKC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те KC, если DC  =  4, AK  =  6.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Углы BAC и CAD равны из усло­вия, а углы CAD и CBD равны, по­то­му что опи­ра­ют­ся на одну дугу. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ABC и BKC по­доб­ны по двум углам.

б)  На дуги BC и CD опи­ра­ют­ся рав­ные углы, по­это­му эти дуги и, как след­ствие, стя­ги­ва­ю­щие их хорды равны. Зна­чит, BC = 4. Пусть KC = x, тогда из по­до­бия тре­уголь­ни­ков ABC и BKC по­лу­ча­ем дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: KC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: BC конец дроби , то есть:

дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6 плюс x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но 16 = 6x плюс x в квад­ра­те рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 6x минус 16 = 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 \underset x боль­ше 0 \mathop рав­но­силь­но x = 2.

Ответ: б)  2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 517
Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026