Ре­ше­ние. а)  Вве­дем вспо­мо­га­тель­ный угол, ис­поль­зу­ем фор­му­лу раз­но­сти ко­си­ну­сов:

б)  Корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку от­бе­рем при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дят числа

Ответ: а)  б) 

При­ме­ча­ние.

Пункт б) можно ре­шить при по­мо­щи двой­ных не­ра­венств. Для пер­вой серии:

Най­ден­ным зна­че­ни­ям k со­от­вет­ству­ют корни Для вто­рой серии:

Най­ден­ным зна­че­ни­ям n со­от­вет­ству­ют корни

Ре­ше­ние. а)  Пусть точка M  — се­ре­ди­на ребра BD. Тогда пря­мая ME па­рал­лель­на пря­мой CD и Ме­ди­а­на рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка по­это­му По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SCE:

При­ме­няя тео­ре­му Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ков SCM и CMD, по­лу­ча­ем:

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке SME:

от­ку­да и

б)  Про­ве­дем пря­мую CH па­рал­лель­но ребру AB, тогда Сле­до­ва­тель­но, пря­мая CD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SCH, а по­то­му ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно рас­сто­я­нию от точки C до пря­мой SH. По по­стро­е­нию по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SCH:

Най­дем длину вы­со­ту пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны пря­мо­го угла:

Ответ: б) 

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

При­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции:

Ответ:

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

15-⁠го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на шесть ме­ся­цев в раз­ме­ре 1 млн руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

— 1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r про­цен­тов по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца, где r  — целое число;

— со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— 15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен со­став­лять не­ко­то­рую сумму в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние r, при ко­то­ром общая сумма вы­плат будет мень­ше 1,2 млн руб­лей.

Пусть по­вы­ша­ю­щий ко­эф­фи­ци­ент В со­от­вет­ствии с этим обо­зна­че­ни­ем и усло­ви­ем за­да­чи за­пол­ним таб­ли­цу.

Месяц	Долг на 1-е число, млн. руб	Вы­пла­та, млн. руб	Долг на 15-е число, млн. руб
Ян­варь			1
Фев­раль	k		0,6
Март	0,6k		0,4
Ап­рель	0,4k		0,3
Май	0,3k		0,2
Июнь	0,2k		0,1
Июль	0,1k		0

Найдём общую сумму вы­плат, сло­жив еже­ме­сяч­ные вы­пла­ты:

По усло­вию

Зна­чит,

Наи­боль­шее целое зна­че­ние Таким об­ра­зом, еже­ме­сяч­но оста­ток долга воз­рас­тал на 7%.

Ответ: r  =  7.