Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дят числа:

Ответ: а)  б) 

Ре­ше­ние. а)  Пусть плос­кость MNK пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке P. Плос­ко­сти AA₁B и CC₁D па­рал­лель­ны, по­это­му па­рал­лель­ны пря­мые MN и KP. Пусть тогда Че­ты­рех­уголь­ник MNPK  — па­рал­ле­ло­грамм по опре­де­ле­нию, по­это­му от­рез­ки NK и MP имеют общую точку O. Пусть h  — рас­сто­я­ние от точки O до плос­ко­сти ос­но­ва­ния. Тогда а кроме того,

от­ку­да Сле­до­ва­тель­но,

б)  Пусть ис­ко­мый угол равен α. Тогда Из усло­вия тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

и ана­ло­гич­но

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке NMK:

Зна­чит,

Сле­до­ва­тель­но,

а ис­ко­мый угол равен

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. а)  Тре­уголь­ни­ки ALB и BNC яв­ля­ют­ся рав­но­бед­рен­ны­ми, по­то­му что их вы­со­ты сов­па­да­ют с ме­ди­а­на­ми. Длину сто­ро­ны AC най­дем по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

Най­дем ко­си­нус угла ACB:

а по­то­му

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке BNC про­ве­де­на вы­со­та, по­это­му

Тогда ис­ко­мое от­но­ше­ние

б)  Из тре­уголь­ни­ка ABC по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

а по­то­му

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ALB про­ве­де­на вы­со­та, по­это­му

Най­дем пло­ща­ди и по­лу­пе­ри­мет­ры тре­уголь­ни­ков ABL и BCN:

От­но­ше­ние ра­ди­у­сов най­дем при по­мо­щи тео­ре­мы си­ну­сов:

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Рас­смот­рим функ­цию на от­рез­ке [2; 17]. За­ме­тим, что сла­га­е­мое об­ра­ща­ет­ся в нуль при а сла­га­е­мое   — при Тогда:

Пер­вое вы­ра­же­ние си­сте­мы задаёт убы­ва­ю­щую функ­цию, по­это­му при этом Тре­тье вы­ра­же­ние задаёт воз­рас­та­ю­щую функ­цию, по­это­му при этом

Таким об­ра­зом, ре­ше­ния ис­ход­но­го урав­не­ния су­ще­ству­ют и при­над­ле­жат от­рез­ку [2; 17] в том слу­чае, когда се­мей­ство го­ри­зон­таль­ных пря­мых имеет общие точки с гра­фи­ком. Так как на вы­бран­ном от­рез­ке гра­фик си­сте­мы в гра­нич­ных точ­ках при­ни­ма­ет одно и то же зна­че­ние и не при­ни­ма­ет зна­че­ния, мень­шие то по­дой­дут зна­че­ния па­ра­мет­ра

Ответ: [1; 3].

Ре­ше­ние. Сумма всех чисел равна  Пусть на белых кар­точ­ках за­пи­са­но x чисел с сум­мой S, тогда на синих за­пи­са­но 140 – x чисел с сум­мой 9800 – S. После из­ме­не­ния сумма чисел на белых кар­точ­ках ста­нет рав­ной на синих  — по­это­му их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское будет равно

от­ку­да x  =  50. Итак, есть 50 чисел с сум­мой S на белых кар­точ­ках и 140 – 50  =  90 чисел с сум­мой 9800 – S на синих кар­точ­ках.

а)  Если все числа на белых кар­точ­ках четны, то мак­си­маль­ное из них не мень­ше  по­это­му все числа на синих кар­точ­ках не мень­ше 100. При этом сумма чисел на белых кар­точ­ках не мень­ше а на синих  — не мень­ше по­это­му общая сумма боль­ше 9800. По­лу­че­но про­ти­во­ре­чие.

б)  Это усло­вие сво­дит­ся к урав­не­нию от­ку­да Зна­чит, сумма чисел на синих кар­точ­ках равна 6345, и число хотя бы на одной из них не пре­вос­хо­дит по­это­му все числа на белых кар­точ­ках не пре­вос­хо­дят 70. Тогда их сумма не пре­вос­хо­дит По­лу­че­но про­ти­во­ре­чие.

в)  Пусть тогда среди чисел на синих кар­точ­ках есть число, не пре­вос­хо­дя­щее t. Зна­чит, сумма чисел на белых кар­точ­ках не пре­вос­хо­дит Сумма же чисел на синих кар­точ­ках равна 90t. Общая сумма не пре­вос­хо­дит 9800:

При­ве­дем при­мер, когда это сред­нее не боль­ше 79. Пусть на всех синих кар­точ­ках на­пи­са­но 79, тогда При этом и если взять для белых кар­то­чек набор чисел то все усло­вия будут вы­пол­не­ны. Итак, До­пу­стим, что тогда среди синих кар­то­чек есть кар­точ­ка с чис­лом, не пре­вос­хо­дя­щим 78, по­это­му сумма чисел на белых кар­точ­ках не пре­вос­хо­дит

Вновь по­лу­че­но про­ти­во­ре­чие.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  79.