Ре­ше­ние. а)  Урав­не­ние опре­де­ле­но при Пре­об­ра­зу­ем его при этом огра­ни­че­нии:

Все члены най­ден­ной серии удо­вле­тво­ря­ют усло­вию

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­но­го не­ра­вен­ства:

По­лу­чен­но­му двой­но­му не­ра­вен­ству удо­вле­тво­ря­ют целые числа и Най­ден­ным зна­че­ни­ям па­ра­мет­ра k со­от­вет­ству­ют корни  и 

Ответ: а)  б) 

Ре­ше­ние. а)  Пусть плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребро B₁C₁ в точке P. Про­длим пря­мую BP до пе­ре­се­че­ния с про­дол­же­ни­ем ребра CC₁ в точке T. Про­ве­дем пря­мую DT, пусть она пе­ре­се­чет ребро C₁D₁ в точке Q (см. рис.). Тогда че­ты­рех­уголь­ник BPQD  — се­че­ние куба плос­ко­стью α. Пусть тогда

от­ку­да Далее,

По­лу­чен­ная пло­щадь по усло­вию равна трети от общей плос­ко­сти бо­ко­вой по­верх­но­сти куба. Сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да и сле­ду­ет, что

б)  Най­дем объем усе­чен­ной пи­ра­ми­ды BCDPC₁Q:

Объем куба равен Сле­до­ва­тель­но, объ­е­мы ча­стей от­но­сят­ся как

Ответ: б)  13 : 41.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что

Пусть По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ACO по­лу­чим, что По­ло­жи­тель­ный ко­рень этого урав­не­ния равен по­это­му Ана­ло­гич­но Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Тре­уголь­ни­ки ACO и BCO  — рав­но­бед­рен­ные, по­это­му Ра­ди­ус окруж­но­сти равен 1, по­это­му пло­щадь сек­то­ра AOB равна

Най­дем пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ACO и BCO:

Тогда пло­щадь кри­во­ли­ней­ной фи­гу­ры ABC равна

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. Пе­ре­пи­шем урав­не­ние в виде

Левая часть урав­не­ния об­ра­ща­ет­ся в 0 при а при про­чих зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной не­от­ри­ца­тель­на, по­сколь­ку на от­рез­ке оба сла­га­е­мых не­от­ри­ца­тель­ны, а вне этого от­рез­ка спра­вед­ли­ва оцен­ка

Левая часть не­пре­рыв­на и при­ни­ма­ет сколь угод­но боль­шие зна­че­ния, по­сколь­ку

Число x может быть кор­нем двух раз­лич­ных таких урав­не­ний, толь­ко если у них сов­па­да­ют пра­вые части. Тем самым, за­да­ча сво­дит­ся к по­ис­ку не­от­ри­ца­тель­ных зна­че­ния функ­ции ко­то­рые она при­ни­ма­ет толь­ко один раз. Ис­сле­ду­ем эту функ­цию с по­мо­щью про­из­вод­ной:

Функ­ция f убы­ва­ет при воз­рас­та­ет при и при Най­дем экс­тре­му­мы:

За­ме­тим, что при Зна­чит, при­ни­ма­ет зна­че­ния из про­ме­жут­ка толь­ко один раз, зна­че­ние 9  — два раза, а зна­че­ния   — три раза.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  При­ме­ром таких чисел яв­ля­ют­ся числа 7124 и 7119.

б)  Пред­по­ло­жим, что такие числа су­ще­ству­ют. Рас­смот­рим какие-либо два таких ин­те­рес­ных числа. Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись боль­ше­го из них, а k  — та из цифр a, b, c или d, ко­то­рая равна сумме трёх дру­гих. Тогда сумма цифр этого числа равна 2k, то есть чётна. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что сумма цифр мень­ше­го из рас­смат­ри­ва­е­мых ин­те­рес­ных чисел также чётна. Так как d ≠ 0, четвёртая цифра мень­ше­го из рас­смат­ри­ва­е­мых ин­те­рес­ных чисел равна d − 1. Так как c − 9, либо от­ри­ца­тель­но, либо равно 0, тре­тья цифра мень­ше­го из рас­смат­ри­ва­е­мых ин­те­рес­ных чисел равна c + 1. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что вто­рая цифра этого числа равна b − 1. На­ко­нец, пер­вая цифра этого числа равна a. Зна­чит, сумма цифр мень­ше­го из рас­смат­ри­ва­е­мых ин­те­рес­ных чисел на еди­ни­цу мень­ше суммы чисел боль­ше­го из них. При­шли к про­ти­во­ре­чию.

в)  По­ка­жем, что ис­ко­мое число равно 11. Для этого сна­ча­ла при­ведём при­мер ин­те­рес­но­го четырёхзнач­но­го числа, крат­но­го 3, 5, 7 и 9,  — это число 9135.

Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись ка­ко­го-либо ин­те­рес­но­го числа, крат­но­го 11. Тогда

По­лу­ча­ем, что число b − a + d − c крат­но 11. По­сколь­ку a, b, c и d  — цифры, от­сю­да сле­ду­ет, что либо b + d  =  a + c, либо эти две суммы от­ли­ча­ют­ся на 11. Со­ста­вим две пары чисел: a и c, b и d. Пусть k  — та из цифр a, b, c и d, ко­то­рая равна сумме трёх дру­гих, l  — та из них, ко­то­рая в паре с k. Пусть m и n  — две остав­ши­е­ся из цифр a, b, c и d. По­сколь­ку k  =  l + m + n, имеем k + l > m + n. Зна­чит, k + l  =  m + n + 11. Вы­чи­тая из этого ра­вен­ства ра­вен­ство k  =  l + m + n, по­лу­ча­ем l  =  11 − l . Сле­до­ва­тель­но, 2l  =  11. При­шли к про­ти­во­ре­чию. Зна­чит, не су­ще­ству­ет ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных чисел, крат­ных 11.

Ответ: а) Да, на­при­мер, 7124 и 7119; б) нет; в) 11.