Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 677685
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: тан­генс x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \ctg x конец дроби минус 2\ctg x = 2.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Урав­не­ние опре­де­ле­но при x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , n при­над­ле­жит Z . Пре­об­ра­зу­ем его при этом огра­ни­че­нии:

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: тан­генс x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \ctg x конец дроби минус 2 \ctg x = 2 рав­но­силь­но \ctg x плюс тан­генс x минус 2 \ctg x = 2 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: синус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби = 2 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но синус в квад­ра­те x минус ко­си­нус в квад­ра­те x = 2 синус x ко­си­нус x рав­но­силь­но синус 2x = минус ко­си­нус 2x рав­но­силь­но
рав­но­силь­но тан­генс 2x = минус 1 рав­но­силь­но 2x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k рав­но­силь­но x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , k при­над­ле­жит Z .

Все члены най­ден­ной серии удо­вле­тво­ря­ют усло­вию x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­но­го не­ра­вен­ства:

минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но
рав­но­силь­но минус 12 мень­ше или равно минус 1 плюс 4k мень­ше или равно 4 рав­но­силь­но минус 11 мень­ше или равно 4k мень­ше или равно 5 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

По­лу­чен­но­му двой­но­му не­ра­вен­ству удо­вле­тво­ря­ют целые числа k = минус 2, k = минус 1, k = 0 и k = 1. Най­ден­ным зна­че­ни­ям па­ра­мет­ра k со­от­вет­ству­ют корни минус дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби  и  дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  минус дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 499
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на тан­генс или ко­тан­генс, Об­ласть опре­де­ле­ния урав­не­ния
Методы алгебры: Фор­му­лы двой­но­го угла
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026