Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 677689
i

Дан угол ве­ли­чи­ной 120° с вер­ши­ной C. Вне угла на про­дол­же­нии его бис­сек­три­сы взята точка O так, что OC = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби . С цен­тром в точке O по­стро­е­на окруж­ность ра­ди­у­са 1, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны угла в точ­ках A и B.

а)  До­ка­жи­те, что OC  =  BC  =  CA.

б)  Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной сто­ро­на­ми угла и дугой окруж­но­сти, за­клю­чен­ной между ними.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что

\angle ACO = \angle BCO = дробь: чис­ли­тель: 360 гра­ду­сов минус 120 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 120 гра­ду­сов.

Пусть AC = x. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ACO по­лу­чим, что 1 = x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби . По­ло­жи­тель­ный ко­рень этого урав­не­ния равен дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , по­это­му AC = CO = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Ана­ло­гич­но CB = CO. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Тре­уголь­ни­ки ACO и BCO  — рав­но­бед­рен­ные, по­это­му \angle AOB = 30 гра­ду­сов плюс 30 гра­ду­сов = 60 гра­ду­сов. Ра­ди­ус окруж­но­сти равен 1, по­это­му пло­щадь сек­то­ра AOB равна

S_сект = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на Пи умно­жить на 1 в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Най­дем пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ACO и BCO:

S_ACO = S_BCO = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

Тогда пло­щадь кри­во­ли­ней­ной фи­гу­ры ABC равна

дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: Пи минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 653092: 677689 Все

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 499
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026