Тип 18 № 677690 
Задача с параметром. Уравнения с параметром
i
Найдите все значения параметра а, такие, что каждый корень уравнения 
является корнем данного уравнения только при одном значении параметра.
Решение. Перепишем уравнение в виде
Левая часть уравнения обращается в 0 при 
а при прочих значениях переменной неотрицательна, поскольку на отрезке 
оба слагаемых неотрицательны, а вне этого отрезка справедлива оценка
Левая часть непрерывна и принимает сколь угодно большие значения, поскольку 
Число x может быть корнем двух различных таких уравнений, только если у них совпадают правые части. Тем самым, задача сводится к поиску неотрицательных значения функции 
которые она принимает только один раз. Исследуем эту функцию с помощью производной:
Функция f убывает при 
возрастает при 
и при 
Найдем экстремумы:
Заметим, что 
при 
Значит, 
принимает значения из промежутка 
только один раз, значение 9 — два раза, а значения 
— три раза.
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: 
