PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 83°, 81°, 64°, 132°. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
На координатной плоскости изображены векторы 
и 
Найдите скалярное произведение 
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в разных группах.
Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 3. Какова вероятность того, что было сделано два броска? Ответ округлите до сотых.
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
при 
На рисунке изображён график функции 
определённой на интервале (–3; 11). Найдите количество решений уравнения 
на отрезке [4; 9]
Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом 
скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет 
на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол α с направлением движения шарика. Значение индукции поля 
При этом на шарик действует сила Лоренца, равная 
и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла 
шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила 
была не менее, чем 
Ответ дайте в градусах.
Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 6 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 56 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 30 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
На рисунке изображён график функции 
Найдите, при каком значении x значение функции равно −27.
Найдите точку максимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
B правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA1 
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A1, а основание сечение данной призмы плоскостью γ.
Решите неравенство 
В июле 2026 года планируется взять кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 8% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным первоначальному;
— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
— к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 13 млн руб.
Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении
В треугольнике PQW угол W острый, радиус описанной вокруг него окружности 
а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
выполняется при всех значениях x.
На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 10, а среднее арифметическое шести наибольших равно 30.
а) Может ли наименьшее из этих чисел равняться 8?
б) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 22?
в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.
Скалярное произведение векторов равно:
на интервале 
индукции магнитного поля 
и скорости 
Таким образом, 
Тогда уравнение принимает вид:
получаем уравнение 
оно не имеет решений. При 
получаем уравнение 
Пусть 
тогда
или 
Второе из этих уравнений не имеет решений, для первого уравнения находим:
Пусть продолжение прямой PQ за точку Q пересекает продолжение прямой CC1 за точку C1 в точке T. Треугольник AA1C подобен треугольнику CPT, так как
и треугольники AA1C и HPC подобны, а значит, угол PHC прямой. Прямые A1C и PT перпендикулярны, прямая A1C перпендикулярна прямой BD, следовательно, (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
Следовательно, 
Объём пирамиды A1KNLM равен 
равен нулю при 
и при 
и положителен при прочих значениях x. При 
и 
неравенство принимает вид: 
получаем: 
Таким образом,
откуда, учитывая, что угол PWQ острый, находим, что 
и, значит, 
— угол
то есть 
Отсюда следует, что треугольник PQW — прямоугольный.
Отсюда следует, что отрезки PQ и AC параллельны и 
Аналогично, отрезки QW и BD параллельны и 
Угол между прямыми AC и BD равен углу между прямыми PQ и QW. Угол между диагоналями четырёхугольника ABCD прямой. Поэтому его площадь равна 
и 
Получаем неравенство 
лежит не выше графика 
Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия 
и 
Получаем систему: 
получаем 
откуда находим 
получаем 
Это верно при любом a.
получаем 
откуда находим 
Решением второго неравенства является тот же промежуток.
а их среднее арифметическое больше 10.
Среднее арифметическое будет наибольшим, когда будет наибольшей сумма всех чисел: 
причём 
Тогда 
следовательно, 
Если B = 24, то 
..., 
следовательно, 
Получаем противоречие, поскольку 
Значит, 
