Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус синус в квад­ра­те x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка минус 36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 35, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3 Пи ; минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства на­хо­дим, что  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус синус в квад­ра­те x конец ар­гу­мен­та = | ко­си­нус x|. Тогда урав­не­ние при­ни­ма­ет вид:

 36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка | ко­си­нус x| пра­вая круг­лая скоб­ка минус 36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 35, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

При  ко­си­нус x боль­ше или равно 0 по­лу­ча­ем урав­не­ние 36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 35, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , оно не имеет ре­ше­ний. При  ко­си­нус x мень­ше 0 по­лу­ча­ем урав­не­ние  36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 35, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби . Пусть  y = 36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка , тогда

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: y конец дроби минус y = дробь: чис­ли­тель: 35, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 6y в квад­ра­те плюс 35y минус 6, зна­ме­на­тель: 6y конец дроби = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний y = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , y = минус 6. конец со­во­куп­но­сти .

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим  36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби или  36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 6. Вто­рое из этих урав­не­ний не имеет ре­ше­ний, для пер­во­го урав­не­ния на­хо­дим:

 36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби рав­но­силь­но ко­си­нус x = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3 Пи ; минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . По­лу­чим число  минус дробь: чис­ли­тель: 8 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  минус дробь: чис­ли­тель: 8 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 674931: 674970 Все

Источник: Стат­Град: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та 11.02.2025 ва­ри­ант МА2410310
Классификатор алгебры: Урав­не­ния сме­шан­но­го типа, Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния, По­ка­за­тель­ные урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния и не­ра­вен­ства
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны