PDF-версии: 
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Заметим, что 
так при 
что невозможно.
При 
имеем:
б) Сделаем выборку корней:
Ясно, что искомые корни строго положительны. Корень 
не подойдет, поскольку 
Следующий положительный корень равен 
Докажем, что 
Действительно, 
(неравенство очевидное).
Докажем, что 
На самом деле, 
Известно, что 
Но и 
Значит,
Следующий положительный корень, идущий за 
будет равен 
который превосходит 14, 5. Докажем это.
(неравенство очевидное).
Дальнейшие поиски корней смысла не имеют.
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
и SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой AM, где M — точка пересечения медиан грани SBC.
SD — апофему пирамиды 
Пусть О — центр основания пирамиды, E — проекция точки M на основание пирамиды. Соединим отрезком точки А и M, M и E.
как два перпендикуляра к одной и той же прямой OD. Следовательно, 
Отсюда: 
по способу построения и определению угла между плоскостью и прямой — искомый угол.
0), B(-4; 
0), C(8; 0; 0), S(0; 0; 15). D (2; 
0).
Но 
следовательно, 
MN и CD — не параллельны, четырехугольник NMDC — трапеция. Однако, любая трапеция, вписанная в окружность, непременно является равнобедренной. А у равнобедренной трапеции диагонали равны. 
части в евро, где x — падение цены в процентах. Курс евро по отношению к рублю в Москве и в Сочи считаем одинаковым, тогда верна пропорция:
будет равно 
Полученное отношение характеризует изменение курса евро по отношению к рублю как в Москве, так и в Сочи — одинаково.
где х (процентов) — падение цен в евро. Отношение 
характеризует курс евро по отношению к рублю, и будет оно равно отношению 
Итак, 
являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Тогда уравнение примет вид: 
или 
и 
что невыполнимо ни при каких значениях m. Следовательно, 
т. е. 
: 
— меньший корень, 
— больший корень уравнения (*). И пусть 
Тогда корнями заданного уравнения будут: 
Очевидно, в арифметической прогрессии они должны идти в последовательности либо в последовательности: 
(в случае возрастающей прогрессии), либо 
(в случае убывающей). Выберем случай возрастающей арифметической прогрессии. В таком случае согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии должно выполняться условие: 
или 
Такое же равенство получим, если проверим условие 
То есть 
то 
При этом 
составное.
является произведением двух последовательных натуральных чисел.
и делится на три. Итак, показатель можно представить как 
где n натуральное. Далее заметим, что 
