Ре­ше­ние. а)   Огра­ни­че­ния на

Решим урав­не­ние

Урав­не­ние кор­ней не имеет.

Те­перь решим урав­не­ние

Ре­ше­ния за­дан­но­го урав­не­ния  — числа вида

б)  Ис­ко­мые корни по­лу­чим с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Ре­ше­ние:

1)  Ко­ор­ди­нат­но-век­тор­ным ме­то­дом.

По­ме­стим пи­ра­ми­ду в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

Урав­не­ние ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды имеет вид: Сле­до­ва­тель­но, ко­ор­ди­на­ты ее нор­маль­но­го век­то­ра

Най­дем ко­ор­ди­на­ты нуж­ных точек:

Если ис­ко­мый угол равен то

2)   Решим за­да­чу эле­мен­тар­но-гео­мет­ри­че­ским ме­то­дом.

Вы­со­ту пи­ра­ми­ды, вы­со­ты ос­но­ва­ния вы­чис­лим так же, как это сде­ла­но выше.

Не­труд­но по­ка­зать, что

Дей­стви­тель­но,

Ответ:

Ре­ше­ние. Най­дем огра­ни­че­ния на Об­ра­тим вни­ма­ние на то, что левая часть не­ра­вен­ства имеет смысл при одном усло­вии: оба вы­ра­же­ния и обя­за­ны быть по­ло­жи­тель­ны­ми. А это зна­чит, что каж­дое из вы­ра­же­ний: и долж­ны иметь оди­на­ко­вый знак: либо оба по­ло­жи­тель­ны, либо оба от­ри­ца­тель­ны. Такое усло­вие будет вы­пол­не­но, если будет вер­ным не­ра­вен­ство

Оце­ним Оче­вид­но, что т. е. для лю­бо­го

Сле­до­ва­тель­но, при любом зна­че­нии От­сю­да вывод: вы­ра­же­ние также обя­за­но быть от­ри­ца­тель­ным. По­след­нее усло­вие будет вы­пол­не­но, если имеет место не­ра­вен­ство Решим его:

Те­перь най­дем знак вы­ра­же­ния Выше было вы­яв­ле­но, что Это зна­чит, что

Ясно, что Сле­до­ва­тель­но,

Когда нам из­ве­стен знак каж­до­го из вы­ра­же­ний и мы впра­ве пе­ре­пи­сать за­дан­ное не­ра­вен­ство так:

Оно рав­но­силь­но це­поч­ке сле­ду­ю­щих не­ра­венств:

По­след­нее не­ра­вен­ство верно при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной x, так как

Итак, за­дан­ное не­ра­вен­ство верно при всех до­пу­сти­мых зна­че­ни­ях x, т. е при

Ответ:

Ре­ше­ние. Воз­мож­ны два слу­чая.

1)  Точка P лежит сна­ру­жи квад­ра­та. Тогда ADP  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, при­чем

по­это­му и

2)  Точка P лежит внут­ри квад­ра­та. Тогда ADP  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, при­чем

по­это­му и

Ответ:

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что в за­да­че най­де­на длина вы­со­ты, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны D. Длина этой вы­со­ты равна или

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что если пара чисел яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы, то и пара чисел тоже. Так что почти все ре­ше­ния си­сте­мы раз­би­ва­ют­ся на пары. По­это­му для по­лу­че­ния не­чет­но­го ко­ли­че­ства ре­ше­ний нужно, чтобы в одном из ре­ше­ний было Тогда пер­вое урав­не­ние сво­дит­ся к от­ку­да или Тогда либо либо то есть

В каж­дом из этих слу­ча­ев уже есть одно ре­ше­ние с и дру­гих нет. По­это­му тре­бу­ет­ся на­ли­чие еще ровно од­но­го ре­ше­ния с по­ло­жи­тель­ным y. За­ме­тим также, что x не­от­ри­ца­тель­но, иначе не опре­де­лен.

Это поз­во­ля­ет упро­стить пер­вое урав­не­ние Вы­ра­жая y, по­лу­чим или

Те­перь раз­бе­рем все по­лу­чен­ные слу­чаи для a.

или при этом или Нашли одно под­хо­дя­щее новое ре­ше­ние

или (что не­воз­мож­но), при этом (это ре­ше­ние уже есть).

Итак, при есть ровно три ре­ше­ния

при этом или Нашли одно под­хо­дя­щее ре­ше­ние

или при этом или (эти ре­ше­ния уже есть)

Итак, при есть ровно три ре­ше­ния

или при этом или Новых ре­ше­ний нет.

имеет два корня, один из ко­то­рых мень­ше 9. Это дает еще 2 ре­ше­ния.

Итак, при есть ровно три ре­ше­ния.

кор­ней нет.

имеет два корня,один из ко­то­рых боль­ше 9. Новых ре­ше­ний нет.

Итак, при есть ровно одно ре­ше­ние

Ответ:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

При­ме­ча­ние: на ри­сун­ке при­ве­дем гра­фи­че­скую ил­лю­стра­цию ре­ше­ния.

Синяя за­мкну­тая ло­ма­ная − гра­фик пер­во­го урав­не­ния.

Окруж­но­сти − гра­фи­ки вто­ро­го при раз­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра

Зелёная − при

Крас­ная − при

Фи­о­ле­то­вая − при

Ре­ше­ние. а)  Будем вы­пи­сы­вать но­ме­ра под­са­жи­ва­ю­щих­ся на трубу букв: 1, 10, 2, 3, 5, 8, 13, 12, 7, 10, 8, 9, 17, 17, 16, 15, 13, 10, 5, 6, 11, 8, 10, 9, 10, 10, 2,... Те­перь но­ме­ра букв будут цик­ли­че­ски по­вто­рять­ся. В цикле (10, 2, 3, 5, 8, 13, 12, 7, 10, 8, 9, 17, 17, 16, 15, 13, 10, 5, 6, 11, 8, 10, 9, 10) чаще всего встре­ча­ет­ся число 10, по­это­му чаще всего будет по­вто­рять­ся буква И.

б)  Пусть номер по­вто­ря­ю­щей­ся буквы имеет вид 10a+b. Тогда долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство Зна­чит, номер буквы равен 18, это буква Р.

Ответ: а) И; б) да, Р.