PDF-версии: 
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. а) Ограничение на 
Для таких x будем иметь:
Далее:
б) Искомых корней не будет. На рассматриваемом промежутке 
Но заданное уравнение обращается в верное равенство только при выполнении условия Следовательно, единственное подходящее значение для синуса равно нулю. Однако, при 
Ответ: а) 
б) Таких корней нет.
Замечание.
При переходе от уравнения 
к уравнению 
проверка того, что при 
является лишней работой. На самом деле при потеря корней уравнения произойти не может. Доказательство этого факта опубликовано в журнале научно-методическом журнале «Математика в школе» (см.: Гилемханов Р. Г. «Освободимся от лишней работы» // Математика в школе. – 2000. – № 10. – С.9).
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) Таких корней нет. б) Таких корней нет.
На прямой MK выбрана точка E так, что ME : EK = 7 : 9. Найти расстояние от точки E до плоскости BSC, если сторона основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна 
— её апофема, 
— высота основания, D — середина BC. В соответствии с условием задачи O лежит на отрезке MK.
Тогда
то 
Найдем координаты нужных точек: 
или 
=
Тогда
тогда 
Разделим обе части неравенства на 
Получим: 
(решений нет).
Для таких значений x рассматриваемое неравенство будет иметь вид: 
являются взаимно обратными. По свойству взаимно обратных чисел возможны два случая:
Пересечение решений обоих неравенств системы: 
Это значит, что 
BO = CO как радиусы одной и той же окружности.
проведенной к ВС, будет Н. Тогда 
Кроме того, 
значит, 
OH = BH = 2.
т. е 
т. е. 
или 
имеет ровно два корня на отрезке 
одно решение, если 
и не имеет решений во всех остальных случаях.
одно решение, если 
и не имеет решений во всех остальных случаях.
Решая совокупность и уравнение, получаем ответ.
Причем, пусть для определенности, они стоят в порядке возрастания: 
таких, что 
(то есть, увеличим все данные числа на единицу). Если у этих двух наборов есть хотя бы 4 общих числа, то задача решена, поскольку найдутся 4 разности, равные единице. Пусть нет, тогда в наборе bn по крайней мере 17 новых чисел, не содержащихся в 
Тогда рассмотрим набор чисел 
таких, что 
Если в наборе cn есть хотя бы четыре общих числа с набором 
то задаче решена. Пусть нет, тогда в наборе cn по крайней мере 14 новых чисел, которых нет в наборах an и 
Аналогично построим наборы 
(каждый раз увеличивая все числа предыдущего набора на единицу). Ясно, что самое большое из всех рассмотренных чисел не больше, чем 
то есть не больше 75. В тоже время в совокупности всех наборов не менее, чем