Ре­ше­ние. а)   Решим урав­не­ние:

Урав­не­ние ре­ше­ний не имеет.

б)  Вы­бор­ка кор­ней.

Из серии

При при

Из серии

При при

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Пусть O  — центр шара, H  — его про­ек­ция на ABCD. Тогда все пер­пен­ди­ку­ля­ры из O на сто­ро­ны ромба па­да­ют туда же, куда и пер­пен­ди­ку­ля­ры из H. Зна­чит, все пер­пен­ди­ку­ля­ры из H равны, по­это­му H  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти ромба, то есть его точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей.

Най­дем ра­ди­ус этой окруж­но­сти по фор­му­ле Тогда

Пусть S  — вер­ши­на пи­ра­ми­ды, а   — ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ля­ров из H на ребра ос­но­ва­ния.

По­сколь­ку пер­пен­ди­ку­ля­ры к реб­рам яв­ля­ют­ся также пер­пен­ди­ку­ля­ра­ми к гра­ням, тре­уголь­ни­ки   — пря­мо­уголь­ные и равны по ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту. То есть по­это­му про­ек­ци­ей S на плос­кость ос­но­ва­ния также яв­ля­ет­ся точка H. Пусть тогда На­пи­шем те­перь тео­ре­му Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка : от­ку­да и объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Ясно, что Для таких

Итак, ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы  — мно­же­ство Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Введём новую пе­ре­мен­ную. Пусть Тогда:

Пе­рейдём к пе­ре­мен­ной

Ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:

Пре­жде чем ис­кать ре­ше­ние ис­ход­ной си­сте­мы, до­ка­жем два не­ра­вен­ства: и

Сле­до­ва­тель­но, пе­ре­се­че­ние ре­ше­ний обоих не­ра­венств си­сте­мы:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Обо­зна­чим тогда От­ме­тим на MN точку T такую, что На про­дол­же­нии CB а точку B от­ме­тим точку K так, чтобы Тогда

Тре­уголь­ни­ки ABK и ADN равны по двум ка­те­там, сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, тре­уголь­ни­ки AKM и ANM равны по трем сто­ро­нам. Тогда по­это­му A лежит на бис­сек­три­се угла KMN.

Оче­вид­но, A лежит также на бис­сек­три­се угла MCN  — диа­го­на­ли квад­ра­та. Зна­чит, A  — центр внев­пи­сан­ной окруж­но­сти. При этом по­это­му B и D  — точки ка­са­ния.

б)  За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки ABM и ATM равны по двум сто­ро­нам и углу между ними ( AM  — общая). Зна­чит, Кроме того, Тогда тре­уголь­ни­ки TNA и DNA равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, по­это­му

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 45°.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

Кор­ня­ми урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа Они не могут от­ли­чать­ся друг от друга на Они от­ли­ча­ют­ся на от чисел вида ко­си­ну­сы ко­то­рых равны по­это­му такие числа будут кор­ня­ми ис­ход­но­го урав­не­ния при

На­ко­нец, воз­мож­на си­ту­а­ция, когда два корня урав­не­ния от­ли­ча­ют­ся на По­сколь­ку точки, изоб­ра­жа­ю­щие корни этого урав­не­ния на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти, сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но го­ри­зон­таль­ной оси, это воз­мож­но толь­ко если то есть при

Ответ:

Ре­ше­ние. 1)  Пусть через t минут на ленте лежат де­та­лей типа A и де­та­лей типа Так как и имеют раз­ную чет­ность, то может при­ни­мать толь­ко зна­че­ния 1, 3, 5. Так как каж­дую ми­ну­ту до­бав­ля­ет­ся де­таль того типа, ко­то­ро­го на ленте мень­ше, а уби­ра­ет­ся про­из­воль­ная де­таль, то либо не из­ме­ня­ет­ся, либо умень­ша­ет­ся. Так как по усло­вию ис­ход­ное рас­по­ло­же­ние по­вто­ря­ет­ся через n минут (а зна­чит, и через и т. д.), то по­лу­ча­ем, что ве­ли­чи­на не из­ме­ня­ет­ся при всех

2)  До­пу­стим, что Так как не из­ме­ня­ет­ся, а и могут ме­нять­ся толь­ко на 1, то и также не из­ме­ня­ют­ся. Тогда до­бав­ля­ет­ся все­гда де­таль од­но­го и того же типа и при этом де­таль того же типа все­гда сни­ма­ет­ся. Это озна­ча­ет, что ис­ход­но на ленте все де­та­ли од­но­го типа и де­таль того же типа до­бав­ля­ет­ся. Это про­ти­во­ре­чит пра­ви­лу под­го­тов­ки сле­ду­ю­щей де­та­ли. Сле­до­ва­тель­но, при всех

3)  Пусть   — типы де­та­лей (A или B), ко­то­рые сто­я­ли ис­ход­но на кон­вей­е­ре и до­бав­ля­лись в по­сле­ду­ю­щие мо­мен­ты. Мы по­ка­за­ли, что при любом i среди 38 раз встре­ча­ет­ся A и 37 раз встре­ча­ет­ся B и тогда либо все на­о­бо­рот. В любом слу­чае при каж­дом i среди A и B встре­ча­ют­ся по 38 раз.

4)  Так как среди A и B встре­ча­ют­ся по 38 раз и среди A и B встре­ча­ют­ся по 38 раз, то (при каж­дом i ). Таким об­ра­зом, 76 – пе­ри­од по­сле­до­ва­тель­но­сти

5)  Пусть через n минут си­ту­а­ция на кон­вей­е­ре впер­вые по­вто­ри­лась. Тогда n  — пе­ри­од по­сле­до­ва­тель­но­сти Об­рат­но, если q  — пе­ри­од этой по­сле­до­ва­тель­но­сти, то через q минут си­ту­а­ция на кон­вей­е­ре по­вто­ря­ет­ся. Сле­до­ва­тель­но, n  — ми­ни­маль­ный пе­ри­од по­сле­до­ва­тель­но­сти

6)  Из­вест­но (и легко по­ка­зать), что ми­ни­маль­ный пе­ри­од яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем лю­бо­го пе­ри­о­да. Сле­до­ва­тель­но, 76 де­лит­ся на n , то есть пе­ри­од длины n укла­ды­ва­ет­ся целое число раз на от­рез­ке по­сле­до­ва­тель­но­сти длины 76. Так как на любом от­рез­ке длины 76 де­та­ли A и B встре­ча­ют­ся оди­на­ко­вое число раз, то это же верно и для пе­ри­о­да длины От­сю­да сле­ду­ет, что n  — чет­ное число и воз­мож­но толь­ко

7)  Пусть и 76 де­лит­ся на По­стро­им бес­ко­неч­ную по­сле­до­ва­тель­ность, в ко­то­рой сна­ча­ла k раз стоит A, затем k раз стоит B, и затем все по­вто­ря­ет­ся с пе­ри­о­дом Эта по­сле­до­ва­тель­ность будет по­рож­дать­ся в нашей за­да­че, если в ка­че­стве ис­ход­но­го рас­по­ло­же­ния де­та­лей на кон­вей­е­ре взять пер­вые 75 эле­мен­тов по­сле­до­ва­тель­но­сти, при­чем впер­вые ис­ход­ная си­ту­а­ция по­вто­рит­ся ровно через минут. Таким об­ра­зом, все зна­че­ния могут ре­а­ли­зо­вать­ся.

Ответ: a) 2; б) 2, 4, 38, 76.