Ре­ше­ние. a)   По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Оче­вид­но, что ра­вен­ство воз­мож­но толь­ко при вы­пол­не­нии усло­вия т. е. при усло­вии вы­пол­не­ния не­ра­вен­ства Для таких

Урав­не­ние ре­ше­ний не имеет.

б)  Вы­бор­ка кор­ней:

При

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим О центр тре­уголь­ни­ка ABC. Тогда SO  — вы­со­та за­дан­ной пи­ра­ми­ды, E  — се­ре­ди­на от­рез­ка BC, К  — точка пе­ре­се­че­ния MN и AE.

Ясно, что:

Пусть S  — пол­ная по­верх­ность пи­ра­ми­ды SAMN, r  — ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в эту пи­ра­ми­ду. Тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы на мно­же­стве [1; 3]. Пре­об­ра­зу­ем его пра­вую часть:

По­лу­ча­ем:

Квад­рат­ный трех­член при всех по­сколь­ку Кроме того, на [1; 3] Сле­до­ва­тель­но:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть Из­вест­но, что в че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность в том и толь­ко в том слу­чае, если суммы про­ти­во­ле­жа­щих сто­рон этого че­ты­рех­уголь­ни­ка равны. Сле­до­ва­тель­но, MN + BC = AM + CN. По­сколь­ку по усло­вию за­да­чи MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка АВС, то Тогда ВM + CN = BC + MN = 9,5 + 4,75 = 14,25. В таком слу­чае также будет вы­пол­не­но усло­вия: АМ + АN = 14,25, АВ + АС = 2 · 14,25 = 28,5.

За­ме­тим, что 3BC=3 · 9,5=28,5. Зна­чит, АВ + АС = 3. Это и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Про­ве­дем вы­со­ту Пусть AC  =  x, тогда В 

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов будем иметь:

(не под­хо­дит, так как 28,5 − 18,5 = 10, в таком слу­чае 18,5 не есть дина мень­шей из бо­ко­вых сто­рон).

При­ме­ча­ние:

К та­ко­му же ре­зуль­та­ту можно прий­ти и таким об­ра­зом:

Пусть АС = х, СН = у. Тогда

В пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках AHC и AHBпо тео­ре­ме Пи­фа­го­ра будем иметь:

Решим вто­рое урав­не­ние си­сте­мы от­но­си­тель­но y с учётом пер­во­го урав­не­ния.

Под­став­ляя по­лу­чен­ное зна­че­ние у в пер­вое урав­не­ние си­сте­мы, по­лу­чим:

(не под­хо­дит, так как 28,5 - 18,5 = 10, в таком слу­чае 18,5 не есть дина мень­шей из бо­ко­вых сто­рон) .

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим два слу­чая.

1)   Обо­зна­чая по­лу­чим

По­сколь­ку на нашем про­ме­жут­ке воз­рас­та­ет, t при­ни­ма­ет все зна­че­ния в про­ме­жут­ке Это дает сле­ду­ю­щее число кор­ней:

При нет кор­ней

При про­чих a есть един­ствен­ный ко­рень.

2)   Обо­зна­чая по­лу­чим

По­сколь­ку на нашем про­ме­жут­ке убы­ва­ет, t при­ни­ма­ет все зна­че­ния в про­ме­жут­ке Это дает сле­ду­ю­щее число кор­ней:

При два корня

При про­чих a есть един­ствен­ный ко­рень.

Со­че­тая по­лу­чен­ные от­ве­ты, видим, что един­ствен­ный ко­рень воз­мо­жен толь­ко при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  До­ста­точ­но за­ме­тить, что в по­сле­до­ва­тель­но­сти 1975237796915163559217996... после каж­дой чётной цифры идут под­ряд че­ты­ре нечётные цифры. По­это­му четвёрка 1234 в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти встре­тить­ся не может. Четвёрка 3269 тоже встре­тить­ся не может.

б)  В усло­вии за­да­чи дано пра­ви­ло, как по четырём рядом сто­я­щим циф­рам опре­де­лять сле­ду­ю­щую цифру. По­про­бу­ем сде­лать на­о­бо­рот: по четырём рядом сто­я­щим циф­рам abcd опре­де­лить пред­ше­ству­ю­щую им цифру x. По­сколь­ку цифра d сле­ду­ет за четвёркой цифр xabc, то цифра d равна по­след­ней цифре суммы x + a + b + c и, зна­чит, x + a + b + c  =  10k + d при не­ко­то­ром целом k. От­сю­да x  =  10k + (d − a − b − c). По­сколь­ку x  — цифра, то из по­след­не­го вы­ра­же­ния сле­ду­ет, что x равно остат­ку от де­ле­ния на 10 числа (d − a − b − c). Раз­де­лить число p на число q с остат­ком  — зна­чит, найти числа s и r такие, что p  =  sq + r и 0 ≤ r < q. Оста­ток от де­ле­ния од­но­го це­ло­го числа на дру­гое опре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но; зна­чит, цифра x также опре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но. На­при­мер, чтобы опре­де­лить цифру, пред­ше­ству­ю­щую четвёрке 1 9 7 5, надо от 5 от­нять 1, 9, 7 и раз­де­лить по­лу­чен­ное число (−12) с остат­ком на 10. В остат­ке по­лу­чим 8; зна­чит, цифра 8 пред­ше­ству­ет четвёрке 1975. Итак, мы до­ка­за­ли сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние: двум оди­на­ко­вым четвёркам цифр, сто­я­щих рядом в по­сле­до­ва­тель­но­сти 197523..., пред­ше­ству­ет одна и та же цифра. По­сколь­ку раз­лич­ных четвёрок цифр ко­неч­ное число, а имен­но 10 000 штук, то в бес­ко­неч­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти 197523... какая-⁠то четвёрка встре­тит­ся вто­рич­но. Пусть это будет четвёрка цифр a, b, c, d. Тогда по­сле­до­ва­тель­ность имеет вид

197523 ... xabcd ... yabcd ...

На­пи­шем под этой по­сле­до­ва­тель­но­стью эту же по­сле­до­ва­тель­ность ещё раз, но «сдви­ну­тую» так, чтобы под пер­вой четвёркой a b c d ока­за­лась вто­рая. Со­глас­но до­ка­зан­но­му выше утвер­жде­нию x  =  y. Ана­ло­гич­но, сов­па­да­ют цифры и в пред­ше­ству­ю­щем x и y столб­це, и так далее. По­это­му под четвёркой 1975 в «верх­ней» по­сле­до­ва­тель­но­сти стоит четвёрка 1975 в «ниж­ней» по­сле­до­ва­тель­но­сти. А это и озна­ча­ет, что четвёрка 1975 встре­ча­ет­ся в по­сле­до­ва­тель­но­сти 197523 ... вто­рич­но.

в)  Как было по­ка­за­но выше, перед четвёркой цифр 1975, встре­ча­ю­щей­ся в по­сле­до­ва­тель­но­сти 197523 ... во вто­рой раз, будет сто­ять цифра 8. Зна­чит, в рас­смат­ри­ва­е­мой по­сле­до­ва­тель­но­сти встре­тит­ся четвёрка 8197.