1. Тип Д8 C1 № 505700 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.3 Иррациональные уравнения
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. a) Найдем ограничения на 
Отсюда получим и часть решения уравнения. Таковыми будут числа вида: 
Остальная же часть решения содержится среди решений уравнения 
Ясно, что ими будут числа 
б) Выборка корней. Заданному отрезку принадлежат только два корня: 
и 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 505700
а) б)
б) Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.3 Иррациональные уравнения
Из третьего уравнения: 
Подставляя найденные значения a и b в первое уравнение, найдем c. 
Далее:
Это — с одной стороны. А с другой же стороны, 
где 
— искомое расстояние.
К этой формуле можно прийти методом удвоения медианы. Если она забыта, ее можно восстановить легко и просто. И вот каким образом.
Достроим треугольник до параллелограмма, удвоив медиану. Очевидно, одна из диагоналей параллелограмма будет с, другая 
а его сторонами будут стороны треугольника длиной a и b. Как известно, сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. Поскольку противолежащие стороны параллелограмма равны, то будет выполнено равенство: 
Отсюда: 
Для таких 
имеем: 
при 
невыполнимо. Следовательно, решения исходной системы 
откуда 
Выразим различными способами площадь треугольника ABC.
), получим: 
Действительно, если 
то 
тогда как 
Следовательно, мы вправе разделить обе части равенства 
на 
Получим: 
Это равенство имеет место при 
есть монотонно возрастающая функция, g(m) — монотонно убывающая. Cледовательно, равенство f (m)= 
возможно лишь при единственном значении m, т. е. при 
Коли это так, то равенство (***) примет вид: 
что возможно лишь при одновременном выполнении двух условий: 
и 
и 
при которых условие 
выполняется как при 
так и при 
то 
Полученным значениям а будут соответствовать значения 
и 
в соответствии с равенством 
к равенству 
(не обязательно равносильный). При подстановке пары (2; 1) в систему 
получим верные равенства: 
Такие же получим результаты, если проверим пару (-2; -1).
при некотором натуральном 
Тогда найдется такое n, что 
но 
(при этом 
из условия). Но наибольшими числами, меньшими D и делящимися на 1005 и 1006, являются числа 
и 
соответственно; поэтому 
отсюда 
подходит, например, последовательность всех чисел, кратных 1005, но не кратных 97 (заметим, что 1005 не кратно 97).