Ре­ше­ние. а)  

Урав­не­ние кор­ней не имеет.

б)  Вы­бор­ка кор­ней. Из серии

По­след­нее не­ра­вен­ство целых ре­ше­ний не имеет. Зна­чит, в дан­ной серии ис­ко­мых кор­ней нет.

Из серии

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Для на­ча­ла по­стро­им се­че­ние PQR: про­ве­дем пря­мую QP до пе­ре­се­че­ния с пря­мой AC в точке E. В плос­ко­сти грани ADC со­еди­ним точки E и R: пря­мая ER пе­ре­се­чет сто­ро­ну AD в точке S. Со­еди­няя точки S, R, P и Q, по­лу­ча­ем ис­ко­мое се­че­ние.

Пред­ва­ри­тель­но най­дем со­от­но­ше­ния и длины не­ко­то­рых сто­рон.

Рас­смот­рим плос­кость ABC. В тре­уголь­ни­ке BQP вы­чис­лим длину сто­ро­ны QP по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

Те­перь най­дем угол BPQ:

Тогда из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства:

За­ме­тим, что как вер­ти­каль­ные, тогда можем найти угол AEP:

Вы­чис­лим синус угла β:

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка APE:

Те­перь рас­смот­рим плос­кость ADC. Из тре­уголь­ни­ка CRE по тео­ре­ме ко­си­ну­сов имеем:

Из этого же тре­уголь­ни­ка най­дем угол CER:

Тогда из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства:

Най­дем синус угла ASE:

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ASE:

Для даль­ней­ше­го ре­ше­ния за­да­чи вос­поль­зу­ем­ся век­тор­ным ме­то­дом. Вве­дем ба­зис­ные век­то­ры: Вы­ра­зим век­то­ры и через ба­зис­ные:

от­ку­да

За­ме­тим, что и Най­дем длины этих век­то­ров:

Оста­лось вы­чис­лить ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние дан­ных век­то­ров:

Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем:

от­ку­да

Ответ:

При­ме­ча­ние Дмит­рия Гу­щи­на.

Эту часть ре­ше­ния можно не­сколь­ко со­кра­тить, при­ме­нив тео­ре­му Ме­не­лая для тет­ра­эд­ра: точки S, R, P и Q, ле­жа­щие на реб­рах тет­ра­эд­ра AD, DC, AB и BC со­от­вет­ствен­но, при­над­ле­жат одной плос­ко­сти тогда и толь­ко тогда, когда

В нашем слу­чае:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

За­ме­тим, что для лю­бо­го Сле­до­ва­тель­но,

Ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства есть мно­же­ство

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. За­ме­тим, что по­сколь­ку

Пусть тогда:

Сле­до­ва­тель­но, Ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства  — мно­же­ство

Пе­ре­се­че­ни­ем ре­ше­ний обоих не­ра­венств будет мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. a)  С уче­том того, что от­рез­ки AK, BK и CK со­став­ля­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию, вве­дем обо­зна­че­ния: Из свойств ка­са­тель­ной и се­ку­щей к окруж­но­сти по­лу­чим:

От­сю­да сле­ду­ет, что KD = AK, то есть тре­уголь­ник AKD рав­но­бед­рен­ный. Тогда:

Далее, тре­уголь­ни­ки ODK и OAK равны по 3-м сто­ро­нам (DK = AK, AO = DO  — ра­ди­ус, OK  — общая). От­сю­да то есть OK  — бис­сек­три­са угла AOD. Впи­сан­ный угол ACD опи­ра­ет­ся на дугу AD и равен по­ло­ви­не цен­траль­но­го угла AOD, то есть Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  За­ме­тим, что дан­ная окруж­ность опи­са­на во­круг тре­уголь­ни­ка ADC, от­ку­да по тео­ре­ме си­ну­сов сле­ду­ет:

Ответ:

Ре­ше­ние. За­дан­ное урав­не­ние при­ве­дем к виду

Рас­смот­рим функ­цию

Най­дем об­ласть ее опре­де­ле­ния.

Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли мно­го­член По­пы­та­ем­ся найти хотя бы один его целый ко­рень, если он име­ет­ся. Це­лы­ми кор­ня­ми могут быть толь­ко числа: За­ме­тим, что числа та­ко­вы­ми не яв­ля­ют­ся. При Зна­чит, число 7 яв­ля­ет­ся кор­нем мно­го­чле­на Де­ле­ни­ем "угол­ком" на по­лу­чим Вы­чис­лим корни квад­рат­но­го трех­чле­на

За­ме­тим, что:

по­сколь­ку (не­ра­вен­ство верно).

так как (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

Итак,

Най­дем нули функ­ции Для этого решим си­сте­му:

По­сколь­ку это по­ка­за­но выше; то и раз­ность

Де­ле­ни­ем «угол­ком» по­лу­чим, что Далее:

Таким об­ра­зом, число делит об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции на два про­ме­жут­ка зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции и Най­дем эти знаки.

За­ме­тим , что Дей­стви­тель­но,

Итак, на

Оче­вид­но, что

На

Если то урав­не­ние будет иметь два корня: и То есть ре­ше­ние не един­ствен­ное. Зна­чит, зна­че­ния и   — не под­хо­дят.

Если то урав­не­ние во­об­ще не будет иметь кор­ней, так как пра­вая часть пре­об­ра­зо­ван­но­го урав­не­ния обя­за­на быть не­от­ри­ца­тель­ной.

Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мые зна­че­ния па­ра­мет­ра a будем ис­кать толь­ко при вы­пол­не­нии усло­вия т. е. при

Те­перь наша за­да­ча за­клю­ча­ет­ся в на­хож­де­нии об­ла­сти зна­че­ний функ­ции на

Имеем: Зна­чит,

Од­на­ко, в силу того, что тре­бу­ет­ся найти зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых за­дан­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень, то функ­ция на от­рез­ке каж­дое свое зна­че­ние долж­на при­ни­мать лишь один раз, т. е. функ­ция на рас­смат­ри­ва­е­мом от­рез­ке обя­за­на быть либо мо­но­тон­но воз­рас­та­ю­щей, либо мо­но­тон­но убы­ва­ю­щей. До­ка­жем, что она яв­ля­ет­ся мо­но­тон­но убы­ва­ю­щей.

Рас­смот­рим функ­цию на от­рез­ке [0;1]

Най­дем ее про­из­вод­ную. Зна­ме­на­тель на рас­смат­ри­ва­е­мом ин­тер­ва­ле в нуль не об­ра­ща­ет­ся (это было по­ка­за­но выше). Сле­до­ва­тель­но, кри­ти­че­ские точки, если они есть, могут быть толь­ко в тех точ­ках, в ко­то­рых об­ра­ща­ет­ся в нуль чис­ли­тель про­из­вод­ной функ­ции. Най­дем эти зна­че­ния.

До­ка­жем, что эти корни не при­над­ле­жат про­ме­жут­ку (0;1).

Дей­стви­тель­но,

Итак, на рас­смат­ри­ва­е­мом от­рез­ке функ­ция кри­ти­че­ских точек не имеет.

сле­до­ва­тель­но, функ­ция на про­ме­жут­ке [0 ;1] мо­но­тон­но воз­рас­та­ет.

Рас­смот­рим функ­цию на том же от­рез­ке [0;1].

Эта функ­ция имеет един­ствен­ную кри­ти­че­скую точку По ха­рак­те­ру из­ме­не­ния зна­че­ний функ­ции её также от­не­сем к числу мо­но­тон­но воз­рас­та­ю­щих, по­сколь­ку

За­ме­тим глав­ное: ско­рость воз­рас­та­ния функ­ции оче­вид­но, будет боль­ше, не­же­ли ско­рость воз­рас­та­ния функ­ции по­сколь­ку зна­че­ния функ­ции и уже в точке ста­нут рав­ны­ми. И от­сю­да сле­ду­ет, что функ­ция

мо­но­тон­но убы­ва­ет на [0;1]. Го­во­ря по-дру­го­му, функ­ция бу­дучи раз­но­стью двух функ­ций: (умень­ша­е­мая) и (вы­чи­та­е­мая). Обе функ­ции мо­но­тон­но воз­рас­та­ю­щие. При этом при бес­ко­неч­но малом при­ра­ще­нии зна­че­ния ар­гу­мен­та на [0;1], на­чи­ная от точки 0, умень­ша­е­мая функ­ция по­лу­чит мень­шее при­ра­ще­ние, чем вы­чи­та­е­мая функ­ция при таком же при­ра­ще­нии ар­гу­мен­та. В силу этого раз­ность на от­рез­ке на [0;1] будет убы­вать от точки к точке (в про­тив­ном слу­чае ра­вен­ство зна­че­ний на­зван­ных функ­ций не будет до­стиг­ну­то при

Коли мо­но­тон­но убы­ва­ет на [0;1], то она будет мо­но­тон­но убы­вать и на

На за­клю­чи­тель­ном этапе ис­сле­до­ва­ния за­да­чи най­дем ре­ше­ние не­ра­вен­ства от­но­си­тель­но а.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да, мог. На­при­мер, если пер­вый с тре­тьим сыг­ра­ли 21 игру, вто­рой с тре­тьим  — 13 игр, а пер­вый со вто­рым  — 4 игры.

б)  Нет, не мог. Дей­стви­тель­но, в таком слу­чае общее число сыг­ран­ных пар­тий было бы равно (25 + 17 + 35)/⁠2  =  38,5 игр  — не целое число.

в)  Нет, не мог. Пусть такое воз­мож­но, тогда тре­тий игрок сыг­рал боль­ше пар­тий, чем пер­вый и вто­рой вме­сте взя­тые (25 + 17 < 56). Но дру­гих со­пер­ни­ков у тре­тье­го не могло быть, по­это­му по­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие.