PDF-версии: 1. Тип 13 № 630286 
Источники:
ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 406;
Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. a) Запишем исходное уравнение в виде:
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку 
Получим числа: 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Отрезок BN — высота прямоугольного треугольника ABO (см. рис.). Получаем:
Таким образом, в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 6. Следовательно, его объём равен 216.
Поскольку плоскости α и β пересекаются по прямой l, она содержит все их общие точки, а значит, и точку X. (Условие «прямые l, l1 и l2 не лежат в одной плоскости» существенно, контрпримером является прямая, проходящая через точки (1; 0; 0) и (0; 0; 1) и не проходящая через начало координат, в то время как ее проекции — оси Ох и Oy пересекаются в начале координат.)
и 
—
Пусть 
—
по острому углу следует 
и 
Имеем: 
По теореме Пифагора 
и 
следовательно, 
Имеем:
потому точка A принадлежит прямой NO.
прямая NO перпендикулярная прямой BD1 и прямой B1C. Тогда:
в координатах, учтем, что все переменные положительны:
тогда 
тыс. руб. После первого платежа долг составит 
тыс. руб.
тыс. руб.
тыс. руб.
тыс. руб.
тыс. руб.,
если 
Тогда 
по теореме Пифагора в треугольнике ABC и 
по теореме Пифагора в треугольнике ABD.
точки A, B, C, D лежат на одной окружности. Из равенства углов BAC и CAD следует равенство дуг, на которые они опираются. Равные дуги стягиваются равными хордами BC и CD, что и требовалось.
как опирающиеся на одну дугу. Из условия следует, что 
Из треугольника BTC находим 
откуда и следует ответ.
тогда 
исходное уравнение принимает вид:
при 
и луч l2 с началом 
при 
Лучи l1 и l3 пересекаются 
исходное уравнение принимает вид:
при 
и луч l4 с началом в 
при 
Лучи l3 и l4 пересекаются 
с объединением лучей l1, l2, l3 и l4.
и не пересекается при 
и не пересекается при 
и 
исходное уравнение имеет ровно два различных корня. При 
и при 
и 
исходное уравнение имеет ровно три корня.
прямая 
исходное уравнение имеет ровно два корня.
и 
исходное уравнение имеет ровно четыре корня. 
и 
откуда 
значит, в этом случае корнями могут быть числа 
Получим два случая: 
при 
при 
Отдельно отметим, когда корни совпадают: 
при 
Тогда 
откуда 
значит, в этом случае корнями уравнения могут быть числа 
и 
Получим два случая: 
при 
при 
Отдельно отметим, когда корни совпадают: 
при 
—
тогда получим
и 
совпадают при 
и исходное уравнение имеет два корня.
тогда корень 
и / или 
и 
множества значений a, возможно с включением границ
и 
а 19 делится на 
это невозможно.
значит, все разности имеют вид 2n при 
Поскольку все числа нечетны, 2n может делиться на них, только если n делится. Но n меньше любого из них. В этом примере 33 числа.