Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что урав­не­ние опре­де­ле­но при усло­вии и то есть Пре­об­ра­зу­ем его при этом усло­вии:

В об­ла­сти опре­де­ле­ния лежат толь­ко

б)  Отберём корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. Под­хо­дят

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что плос­ко­сти BB₁E и DD₁F со­дер­жат па­рал­лель­ные бо­ко­вые рёбра приз­мы BB₁ и DD₁, сле­до­ва­тель­но, они будут пе­ре­се­кать­ся по пря­мой, па­рал­лель­ной бо­ко­вым рёбрам приз­мы. Про­ведём пря­мую EE₁, па­рал­лель­ную пря­мой BB₁, и пря­мую FF₁, па­рал­лель­ную пря­мой DD₁, тогда они лежат в плос­ко­стях BB₁E и DD₁F со­от­вет­ствен­но. Пусть M и M₁  — точки пе­ре­се­че­ния пря­мых BE с DF и B₁E₁ с D₁F₁ со­от­вет­ствен­но. Тогда MM₁  — пря­мая пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей BB₁E и DD₁F. Тогда угол BMF  — ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го угла. За­ме­тим, что тре­уголь­ник KBD  — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, далее,

тогда

б)  За­ме­тим, что OEF и OB₁D₁  — по­доб­ные рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки. При этом, EF  =  2, а E₁F₁  =  4, сле­до­ва­тель­но, от­сю­да Далее, имеем:

Те­перь найдём каж­дый из объёмов:

Окон­ча­тель­ный ответ:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть тогда

Рас­смот­рим функ­цию При она воз­рас­та­ет как сумма воз­рас­та­ю­щих функ­ций. Зна­чит,

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. В пер­вом слу­чае долг еже­ме­сяч­но дол­жен умень­шать­ся на   тыс. руб., а во вто­ром слу­чае  — на тыс. руб. Суммы на­чис­лен­ных про­цен­тов будут пред­став­лять собой ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

Найдём сумму вы­плат в пер­вом слу­чае:

Найдём сумму вы­плат во вто­ром слу­чае:

Найдём раз­ность сумм:

Ответ: 648.

Ре­ше­ние. а)  Пусть тре­уголь­ник ABC не яв­ля­ет­ся ту­по­уголь­ным. Тогда его вы­со­та AD лежит внут­ри тре­уголь­ни­ка или сов­па­да­ет с его сто­ро­ной. Тогда BD ⩽ AB. Пусть пря­мая BE пе­ре­се­ка­ет AD в точке F, пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет AD в точке G. По свой­ству бис­сек­три­сы Тогда При­ме­ним к тре­уголь­ни­ку ACD и се­ку­щей BG тео­ре­му Ме­не­лая: от­ку­да что не­воз­мож­но. По­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие, зна­чит, тре­уголь­ник ABC ту­по­уголь­ный.

б)  По свой­ству бис­сек­три­сы от­ку­да BD  =  2, по­это­му угол ABC  =  60°. При­ме­ним к тре­уголь­ни­ку ACD и се­ку­щей BG тео­ре­му Ме­не­лая:

Оста­лось при­ме­нить для тре­уголь­ни­ка ABC тео­ре­му ко­си­ну­сов:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. За­пи­шем урав­не­ние в виде

и за­ме­тим, что если число яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния, то и число тоже яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния. Зна­чит, если урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, то этим ре­ше­ни­ем яв­ля­ет­ся Найдём, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра число 1 яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния:

При най­ден­ном зна­че­нии па­ра­мет­ра урав­не­ние может иметь и дру­гие корни кроме числа 1. Вы­яс­ним ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния при Для этого решим урав­не­ние:

За­ме­тим, что

Зна­чит,

Таким об­ра­зом, при ис­ход­ное урав­не­ние имеет одно ре­ше­ние.

Ответ:

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим пер­вый член про­грес­сии a, раз­ность d.

а)  По фор­му­ле для суммы про­грес­сии по­лу­чим:

Это воз­мож­но, на­при­мер, при a  =  300, d  =  12.

б)  По фор­му­ле для суммы про­грес­сии по­лу­чим от­ку­да то есть число 700 де­лит­ся на n. Ана­ло­гич­но по­лу­чим:

то есть 1250 де­лит­ся на n + 2. Вы­пи­шем все де­ли­те­ли числа 700:

Уве­ли­чим их на 2, по­лу­чим

Из них 1250 не де­лит­ся ни на одно число, по­это­му такое не­воз­мож­но.

в)  Рас­смот­рим урав­не­ние Вы­пи­шем все де­ли­те­ли числа :

Кроме того, при имеем

по­это­му так много чле­нов в про­грес­сии быть не может. Раз­бе­рем осталь­ные слу­чаи и при­ве­дем при­ме­ры про­грес­сий там, где они есть:

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  1, 2, 5, 10, 25.