Ре­ше­ние. а)  Пусть Раз­ло­жим вы­ра­же­ние как сумму кубов квад­ра­тов:

За­ме­тим, что тогда

Пре­об­ра­зу­ем по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние, ис­поль­зуя фор­му­лу На­хо­дим:

Ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

б)  Ре­ше­ния из от­рез­ка най­дем пе­ре­бо­ром. При по­лу­ча­ем:   — не лежит на дан­ном от­рез­ке  — или   — лежит на дан­ном от­рез­ке. При на­хо­дим корни и ле­жа­щие на за­дан­ном от­рез­ке. При по­лу­ча­ем:   — не лежит на дан­ном от­рез­ке  — или   — лежит на дан­ном от­рез­ке. При и при серии кор­ней не дают ре­ше­ний из за­дан­но­го от­рез­ка.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть вы­со­та пи­ра­ми­ды  — h, а вы­со­та ци­лин­дра  — H. Пусть R  — ра­ди­ус ос­но­ва­ния, тогда вы­со­та ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды а сто­ро­на ос­но­ва­ния От­сю­да

сле­до­ва­тель­но,

б)  Из точки H  — се­ре­ди­ны сто­ро­ны AC  — опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр HG на ребро SB. Пря­мая HG лежит в плос­ко­сти SBH, со­дер­жа­щей вы­со­ту пи­ра­ми­ды и, сле­до­ва­тель­но, пер­пен­ди­ку­ляр­ной ос­но­ва­нию и, в част­но­сти, ребру AC. Таким об­ра­зом, пря­мая HG  — общий пер­пен­ди­ку­ляр пря­мых AC и SB  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние.

Из пунк­та а) имеем:

Тогда

Ответ: б)

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что а по­то­му не­ра­вен­ство можно за­пи­сать в виде

Обо­зна­чая по­лу­ча­ем от­ку­да

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Решим каж­дую из си­стем по­лу­чен­ной со­во­куп­но­сти

Пер­вая си­сте­ма:

Вто­рая си­сте­ма:

Тре­тья си­сте­ма:

Объ­еди­няя ре­зуль­та­ты, по­лу­ча­ем ответ.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть H  — точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC. Че­ты­рех­уголь­ник HKCL впи­сан в окруж­ность с диа­мет­ром HC, по­это­му углы HLK и HCK равны как впи­сан­ные. Ана­ло­гич­но: че­ты­рех­уголь­ник NPCQ впи­сан в окруж­ность с диа­мет­ром NC, по­это­му углы NPQ и NCQ равны как впи­сан­ные. Итак, углы NPQ и HLK равны, а зна­чит, равны и углы QPC и KLC. Таким об­ра­зом, пря­мая QP па­рал­лель­на пря­мой KL.

б)  По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Имеем:

Далее по­лу­ча­ем:

Те­перь найдём пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка PQKL:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. По усло­вию форма крыши яв­ля­ет­ся квад­ра­том, зна­чит, длина и ши­ри­на зда­ния равны. Пусть длина и ши­ри­на зда­ния равны x м (), тогда вы­со­та зда­ния равна  м. Сто­и­мость от­дел­ки зда­ния в ты­ся­чах руб­лей равна

С по­мо­щью про­из­вод­ной найдём зна­че­ние x, при ко­то­ром при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние:

Точка ми­ни­му­ма яв­ля­ет­ся един­ствен­ной точ­кой экс­тре­му­ма не­пре­рыв­ной на луче (0; +∞) функ­ции по­это­му в дан­ной точке эта функ­ция при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние. Зна­чит, длина и ши­ри­на зда­ния равны 6 м, а вы­со­та зда­ния равна  м.

Ответ: 6 м, 6 м, 12 м.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что если число яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства, то и число тоже яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства. Не­ра­вен­ство долж­но иметь един­ствен­ное ре­ше­ние, по­это­му число 0 долж­но быть его ре­ше­ни­ем, и дру­гих ре­ше­ний быть не долж­но. Найдём зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства:

Оста­лось про­ве­рить, при каких из най­ден­ных зна­че­ний па­ра­мет­ра ис­ход­ное не­ра­вен­ство не имеет дру­гих ре­ше­ний, кроме Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

При зна­ме­на­тель левой части от­ри­ца­те­лен, тогда не­об­хо­ди­мо вы­пол­не­ние не­ра­вен­ства

что верно при любом зна­че­нии x.

При имеем:

Если то левая часть по­лу­чен­но­го урав­не­ния боль­ше 3, а пра­вая  — не боль­ше 3, по­это­му оно не имеет ре­ше­ний. Зна­чит, при ис­ход­ное не­ра­вен­ства не имеет дру­гих ре­ше­ний, кроме

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное не­ра­вен­ство имеет един­ствен­ное ре­ше­ние толь­ко при

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. а)  Да. Разо­бьем шо­ко­лад­ки на пары. В каж­дой паре от­ло­ма­ем от каж­дой шо­ко­лад­ки одну треть. Те­перь дадим двум школь­ни­кам по боль­шо­му куску, а тре­тье­му  — два ма­лень­ких. Сде­лав это в каж­дой из 9 пар, по­лу­чим тре­бу­е­мое.

б)  Нет. Каж­дый школь­ник дол­жен по­лу­чить шо­ко­лад­ки. По­сколь­ку всего ча­стей будет не более 36, а школь­ни­ков 28, то не более из них смо­гут по­лу­чить более чем по одной части, а не менее 28 − 8 = 20 долж­ны по­лу­чить по одной части. Но из каж­дой шо­ко­лад­ки по­лу­ча­ет­ся не более одной части раз­ме­ра по­это­му таких ча­стей будет не более 18.

в)  Ясно, что при это воз­мож­но: вы­ло­жим шо­ко­лад­ки в ряд и раз­ре­жем по­лу­чен­ную по­лос­ку на n ча­стей  — при этом на одну шо­ко­лад­ку не при­дет­ся боль­ше од­но­го раз­ре­за (по­сколь­ку раз­мер доли каж­до­го школь­ни­ка не мень­ше целой шо­ко­лад­ки).

При n = 15 можно от­ре­зать от каж­дой шо­ко­лад­ки по части, дать каж­до­му школь­ни­ку кроме од­но­го боль­шой кусок, а од­но­му  — все ма­лень­кие.

При n = 16 можно от­ре­зать от каж­дой шо­ко­лад­ки по части, дать каж­до­му школь­ни­ку кроме двоих боль­шой кусок, а двоим  — по семь ма­лень­ких.

При n = 17 будем счи­тать, что каж­дая шо­ко­лад­ка имеет 17 долек, а каж­дый ре­бе­нок дол­жен по­лу­чить 14 (воз­мож­но, части со­сто­ят из не­це­ло­го числа долек). Зна­чит, каж­дая часть будет со­дер­жать не менее трех долек (после от­ре­за­ния даже части в 14 долек ми­ни­мум три оста­нут­ся). Каж­дая часть будет со­дер­жать либо 14 долек, либо не более 11 (ведь части боль­ше­го раз­ме­ра нечем будет до­пол­нить до 14). Зна­чит, каж­дая часть будет со­дер­жать либо 3, либо не менее 6 долек (после от­ре­за­ния даже части в 11 долек ми­ни­мум шесть оста­нут­ся). Тогда по­лу­ча­ют­ся такие ва­ри­ан­ты вы­дать ровно 14 долек:

1.  Один кусок в 14 долек;

2.  Куски в 11 и 3 доль­ки;

3.  Куски в 3, 3 и еще сколь­ко-то долек (не менее 6)  — тогда это, оче­вид­но, 8;

4.  Два куска, в каж­дом из ко­то­рых не менее 6 долек (и не более 8, со­от­вет­ствен­но).

Тре­тий спо­соб не­воз­мо­жен  — если об­ра­зу­ет­ся кусок в 8 долек, то вме­сте с ним об­ра­зу­ет­ся и 9, ко­то­рый не ис­поль­зо­вать. Чет­вер­тый тоже  — ведь с та­ки­ми кус­ка­ми об­ра­зу­ют­ся куски раз­ме­ром от 9 до 11 долек, при­чем они не могут оба быть по 11. Тогда не­воз­мо­жен и вто­рой спо­соб  — ведь с кус­ка­ми раз­ме­ра 11 об­ра­зу­ют­ся за­пре­щен­ные те­перь куски раз­ме­ра 6. А обой­тись толь­ко пер­вым спо­со­бом, оче­вид­но, нель­зя.

При n = 18 будем счи­тать, что каж­дая шо­ко­лад­ка имеет 9 долек, а каж­дый ре­бе­нок дол­жен по­лу­чить 7 (воз­мож­но, части со­сто­ят из не­це­ло­го числа долек). Зна­чит, каж­дая часть будет со­дер­жать не менее двух долек (после от­ре­за­ния даже части в 7 долек ми­ни­мум две оста­нут­ся). Тогда каж­дая часть будет со­дер­жать либо 7 долек, либо не более 5 (ведь части боль­ше­го раз­ме­ра нечем будет до­пол­нить до 7). Зна­чит, каж­дая часть будет со­дер­жать либо 2, либо не менее 4 долек (после от­ре­за­ния даже части в 5 долек ми­ни­мум че­ты­ре оста­нут­ся). Тогда по­лу­ча­ют­ся такие ва­ри­ан­ты вы­дать ровно 7 долек:

1.  Один кусок в 7 долек;

2.  Куски в 5 и 2 доль­ки;

3.  Куски в 2, 2 и еще сколь­ко-то долек (не менее 4)  — это, оче­вид­но, не­воз­мож­но;

4.  Два куска, в каж­дом из ко­то­рых не менее 4 долек  — это тоже не­воз­мож­но.

Но при­ме­нить вто­рой спо­соб нель­зя (вме­сте с кус­ка­ми по 5 долек об­ра­зу­ют­ся и куски по 4, ко­то­рые не ис­поль­зо­вать), а обой­тись толь­ко пер­вым спо­со­бом не­воз­мож­но.

При n = 19 будем счи­тать, что каж­дая шо­ко­лад­ка имеет 19 долек, а каж­дый ре­бе­нок дол­жен по­лу­чить 14 (воз­мож­но, части со­сто­ят из не­це­ло­го числа долек). Тогда каж­дая часть будет со­дер­жать не менее пяти долек (после от­ре­за­ния даже части в 14 долек ми­ни­мум пять оста­нут­ся). Зна­чит, каж­дая часть будет со­дер­жать либо 14 долек, либо не более 9 (ведь части боль­ше­го раз­ме­ра нечем будет до­пол­нить до 14). По­это­му каж­дая часть будет со­дер­жать либо 5, либо не менее 10 долек (после от­ре­за­ния даже части в 9 долек ми­ни­мум де­сять оста­нут­ся). Но части не могут быть од­но­вре­мен­но не более 9 и не менее 10 долек! Таким об­ра­зом, есть толь­ко такой спо­соб раз­ре­зать ис­ход­ные шо­ко­лад­ки  — 14 + 5 долек. Но куски по 5 тогда мы не смо­жем ис­поль­зо­вать.

При n = 20 будем счи­тать, что каж­дая шо­ко­лад­ка имеет 10 долек, а каж­дый ре­бе­нок дол­жен по­лу­чить 7 (воз­мож­но, части со­сто­ят из не­це­ло­го числа долек). Зна­чит, каж­дая часть будет со­дер­жать не менее трех долек (после от­ре­за­ния даже части в 7 долек ми­ни­мум три оста­нут­ся). По­то­му каж­дая часть будет со­дер­жать либо 7 долек, либо не более 4 (ведь части боль­ше­го раз­ме­ра нечем будет до­пол­нить до 7). Зна­чит, каж­дая часть будет со­дер­жать либо 3, либо не менее 6 долек (после от­ре­за­ния даже части в 4 доль­ки ми­ни­мум шесть оста­нут­ся). Но части не могут быть од­но­вре­мен­но не более 4 и не менее 6 долек! Сле­до­ва­тель­но, есть толь­ко такой спо­соб раз­ре­зать ис­ход­ные шо­ко­лад­ки  — 7 + 3 доль­ки. Но куски по 3 мы не смо­жем тогда ис­поль­зо­вать.

При n = 21 можно от­ре­зать от каж­дой шо­ко­лад­ки по части, вы­дать 14 школь­ни­кам боль­шой кусок, а се­ме­рым  — по два ма­лень­ких.

При будет не более 28 ча­стей, по­это­му мак­си­мум 28 − 22 = 6 школь­ни­ков по­лу­чат более од­но­го куска, зна­чит, ми­ни­мум по­лу­чат по од­но­му куску раз­ме­ром боль­ше но такие куски из каж­дой шо­ко­лад­ки по­лу­ча­ют­ся мак­си­мум по од­но­му.

При n = 28 нужно раз­ре­зать каж­дую шо­ко­лад­ку по­по­лам.

При n > 28 это не­воз­мож­но, по­сколь­ку нель­зя раз­ре­зать 14 шо­ко­ла­док более чем на 28 ча­стей.

Ответ: а) да, б) нет, в) 1, 2, ..., 15, 16, 21, 28.