PDF-версии: 1. Тип 13 № 514533 
Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Замена переменной, Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Уравнения. Тригонометрия и логарифмы
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Пусть
тогда:
Not match begin/end align
Первый случай невозможен.
Во втором имеем 
б) Корни, принадлежащие промежутку Получим число 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 514533
а) б)
б) Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Замена переменной, Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
На рёбрах AB и B1C1 отмечены точки K и L, соответственно, причём AK = B1L = 3. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость γ параллельна ребру AC и содержит точки K и L.
и 
на ребрах 
и CB соответственно так чтобы 
Тогда плоскость 
это плоскость 
поскольку проекция BM на плоскость ABC — высота треугольника 
Она перпендикулярна AC, а значит и 
По теореме о трех перпендикулярах 
Рассмотрим теперь проекцию 
точки M на плоскость 
Поскольку проекция 
на эту плоскость — середина ребра 
то 
Докажем теперь, что прямая 
перпендикулярна 
Тогда по теореме о трех перпендикулярах окажется что 
а тогда и 
Обозначим за O точку пересечения отрезков 
за 
— проекцию точки 
Тогда
и 
что и требовалось доказать.
Тогда 
поскольку 
и 
(точки 
и 
). Опустим из T перпендикуляр на прямую 
— это и будет искомое расстояние. В самом деле, все эти точки лежат в плоскости 
перпендикулярной к 
поэтому и описанный выше перпендикуляр тоже перпендикулярен 
В ней 
поскольку отрезки 
тогда
— все точки лежат на окружности с диаметром AC. Аналогично MKEH — вписанный, причем в окружность с диаметром MK. Значит,
Поэтому KOC — равнобедренный прямоугольный треугольник, и его высота KH совпадает с его медианой, то есть H — середина OC. Аналогично E — середина OA, поэтому EH — средняя линия треугольника AOC и 
В соответствии с этим обозначением и условием задачи заполним таблицу.
Таким образом, ежемесячно остаток долга возрастал на 7%.
Осталось узнать, не посторонние ли это корни, и все ли они различны (их как раз три).
изначальное уравнение примет вид 
что верно при 
изначальное уравнение примет вид 
изначальное уравнение примет вид 
что верно при при всех a.
или 
или 
(поскольку число 1 на доске никогда не появится). Значит, после 49 ходов сумма станет минимум 
Поэтому после пятидесятого хода 
В то же время 
и 
потому что левая часть нечетна, а правая четна.
или 
Поэтому модуль разности чисел меняется 