Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 11 № 71205

 

Найдите наименьшее значение функции y = 8x минус натуральный логарифм левая круглая скобка 8x правая круглая скобка плюс 13 на отрезке  левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 16 конец дроби правая квадратная скобка .

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.


Найдите наименьшее значение функции y=9x минус натуральный логарифм левая круглая скобка 9x правая круглая скобка плюс 3 на отрезке  левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 18 конец дроби правая квадратная скобка .

Функция определена и дифференцируема на заданном отрезке. Найдем ее производную:

y' левая круглая скобка x правая круглая скобка =9 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби .

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 система выражений  новая строка 9 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби =0,  новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 18 конец дроби  конец системы . равносильно система выражений  новая строка x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ,  новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 18 конец дроби  конец системы . равносильно x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби .

 

Определим знаки производной функции на заданном отрезке, и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

y левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби умножить на 9 минус натуральный логарифм 1 плюс 3=4.

 

Ответ: 4.