Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 11 № 70691

 

Найдите наименьшее значение функции y = 42 тангенс x минус 84x плюс 21 Пи плюс 9 на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая квадратная скобка .

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.


Найдите наименьшее значение функции y=2\operatorname{ тангенс }x минус 4x плюс Пи минус 3 на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая квадратная скобка .

Найдем производную заданной функции:

{y}'=2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — {{ косинус в степени 2 }x} минус 4= дробь, числитель — минус 2(2{{ косинус } в степени 2 }x минус 1), знаменатель — {{ косинус в степени 2 }x}= дробь, числитель — минус 2 косинус 2x, знаменатель — {{ косинус в степени 2 }x}.

Производная определена во всех точках заданного отрезка. Найдем ее нули на этом отрезке:

 система выражений  новая строка косинус 2x=0,  новая строка минус дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 меньше или равно 2x меньше или равно дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 конец системы . равносильно совокупность выражений  новая строка 2x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ,  новая строка 2x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 ,  новая строка x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 . конец совокупности .

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

Наименьшим значением функции на заданном отрезке будет наименьшее из чисел y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка и y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка . Найдем их:

y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка = минус 4 левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка плюс 2 тангенс левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка плюс Пи минус 3= дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 3 минус 2 корень из { 3} минус 3 больше 0,

y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка =2 умножить на 1 минус 4 левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка плюс Пи минус 3= минус 1.

Заметим, что y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка больше y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка , поэтому наименьшее значение функции на отрезке равно −1.

 

Ответ: −1.

Классификатор базовой части: 3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания, 3.2.5 Точки экстремума функции, 3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков, Наименьшее (наибольшее) значение функции во внутренней точке отрезка